Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

94
(
)
CxF
+
, (3.1)
где
С – произвольная постоянная. Иными словами, других первообразных, не
входящих в выражение (3.1), быть не может. В силу этого выражение (3.1)
исчерпывает все семейство первообразных функций для
()
xf и представляет
собой самый общий вид функции, которая имеет производную
(
)
xf или
дифференциал
()
dxxf
.
Определение 2. Если
(
)
xF – первообразная функция для
()
xf , то вы-
ражение
()
CxF + , где С – произвольная постоянная, называется неопреде-
ленным
интегралом от функции
(
)
xf и обозначается символом
(
)
∫
dxxf .
Итак, по определению
∫
+= CxFdxxf )()( . (3.2)
Функция
(
)
xf
называется подынтегральной функцией, произведение
()
dxxf – подынтегральным выражением, а переменная
x
– переменной
интегрирования
.
Для всякой ли функции
(
)
xf , заданной на некотором промежутке, су-
ществует первообразная
()
xF (а значит, и неопределенный интеграл)? Ока-
зывается, что не для всякой. Однако, если
(
)
xf непрерывна на каком-нибудь
промежутке, то она имеет на нем первообразную (а следовательно, и неопре-
деленный интеграл). Всюду в п. 3.1 будем говорить лишь об интегрировании
непрерывных функций.
Восстановление функции по ее производной, или, что тоже самое, оты-
скание неопределенного интеграла по данной подынтегральной функции, на-
зывают
интегрированием.
Поскольку интегрирование – обратное действие по отношению к диф-
ференцированию, то благодаря этому проверка правильности результата ин-
тегрирования осуществляется дифференцированием последнего: дифферен-
цирование должно дать подынтегральную функцию.
Пример 2. Проверить, что C
x
dxx +=
∫
4
4
3
. Дифференцирование дает:
3
4
4
xC
x
=
′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+ . Следовательно, интегрирование выполнено верно.
Основные свойства неопределенного интеграла
Из определения неопределенного интеграла непосредственно вытекают
следующие его свойства.
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной
функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтеграль-
ному выражению, то есть

Страницы