Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

96
9.
Cx
x
dx
+=
∫
tg
cos
2
.
10.
Cx
x
dx
+−=
∫
ctg
sin
2
.
11.
C
a
x
xa
dx
+=
−
∫
arcsin
22
, ax
<
.
12.
C
a
x
a
xa
dx
+=
+
∫
arctg
1
22
.
13.
C
ax
ax
a
ax
dx
+
+
−
=
−
∫
ln
2
1
22
(
)
axa
±
≠
≠
;0 .
14.
Caxx
ax
dx
+++=
+
∫
2
2
ln
(
)
axa −±≠≠ ;0 .
Формулы 13 и 14 занимают исключительное положение в нашей таб-
лице, ибо эти формулы не имеют аналогов среди формул таблицы производ-
ных. Формулы 13, 14 будут выведены в п. 3.1.3. Для проверки этих формул
достаточно убедиться в том, что производные выражений, стоящих в правых
частях этих формул, совпадают с соответствующими подынтегральными
функциями. Проделайте это самостоятельно!
Приведенную таблицу, также как и таблицу производных основных
элементарных функций, следует знать наизусть.
Замечание 1. Производная любой элементарной функции представляет
собой также элементарную функцию [3]. Иными словами, мы установили,
что
операция дифференцирования не выводит нас из класса элементар-
ных функций
.
Отметим сразу же, что с операцией интегрирования дело обстоит ина-
че. Можно доказать, что интегралы от некоторых элементарных функций уже
не являются элементарными функциями. Примерами таких интегралов могут
служить следующие:
1
0
. dxe
x
∫
−
2
, 2
0
.
(
)
dxx
∫
2
cos , 3
0
.
(
)
dxx
∫
2
sin ,
4
0
.
∫
x
dx
ln
(
)
10 ≠< x , 5
0
. dx
x
x
∫
cos
(
)
0
≠
x , 6
0
. dx
x
x
∫
sin
(
x ≠ 0).
Каждый из указанных интегралов
представляет собой функцию, не
являющуюся элементарной
. Указанные функции не только реально суще-
ствуют, но и играют большую роль в различных вопросах физики. Так, на-
пример, интеграл
0
1, называемый интегралом Пуассона или интегралом
ошибок, широко используется в статистической физике, в теории теплопро-
водности и диффузии, интегралы
0
2 и
0
3
, называемые интегралами Френеля,
широко применяются в оптике. Часто встречаются в приложениях и интегра-

Страницы