ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
98
грала, то есть разлагают данный интеграл на сумму нескольких интегралов,
из которых каждый можно найти по соответствующей формуле.
Пример 3. Найти dx
x
xxx
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−+
4
592
23
.
Решение. Применяя свойства 4, 3 неопределенного интеграла и форму-
лу 3 таблицы основных интегралов, получим
dx
x
xxx
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−+
4
592
23
=+−+=
∫∫∫∫
x
dx
dxxdxxdxx 4592
2
1
23
Cxxxx
x
Cx
xxx
++−+=+⋅+−+⋅= 8
3
10
3
2
24
2
3
5
3
9
4
2
2
4
2
3
34
.
Отметим, что метод непосредственного интегрирования требует опре-
деленных навыков, связанных с преобразованием подынтегральной функции
на сумму легко интегрируемых слагаемых.
Пример 4. Найти dx
xx
2
2
cos
2
sin
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ .
Решение. Используя свойства 2 и 4 неопределенных интегралов, а так-
же формулу 9 таблицы интегралов, получим
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∫∫
dx
xxxx
dx
xx
2
cos
2
cos
2
sin2
2
sin
2
cos
2
sin
22
2
()
=+=
∫
dxxsin1
∫∫
+−=+ Cxxxdxdx cossin
.
Замечание 1. Все формулы основной таблицы интегралов остаются
справедливыми и в том случае, когда переменная интегрирования не является
независимой, а представляет функцию от некоторой другой переменной.
Действительно, пусть имеем формулу
(
)
(
)
CxFdxxf +=
∫
, (3.2)
где переменная интегрирования
x
является независимой переменной. В ча-
стности, под этой формулой можно понимать любую из формул основной
таблицы.
С другой стороны, пусть нам дан интеграл, в котором подынтегральное
выражение может быть записано в виде
(
)
duuf , где
()
xu
ϕ
=
– любая диффе-
ренцируемая функция u, следовательно,
(
)
dxxdu
ϕ
′
=
. Иными словами, по-
дынтегральное выражение имеет вид:
(
)
[
]
(
)
dxxxf
ϕ
′
ϕ
. Образуем сложную
функцию
() ()
[
]
xFuF ϕ= . По правилу дифференцирования сложной функции
()
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
()
xxfxufxuFxF
x
ϕ
′
ϕ
=
ϕ
′
=
ϕ
′
′
=
ϕ
′
.
Тогда
(
)
[]
(
)
(
)
[
]
CxFdxxxf +ϕ=ϕ
′
ϕ
∫
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- …
- следующая ›
- последняя »
