Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5. îÅ×ÙÒÁÚÉÍÙÅ ÐÒÅÄÉËÁÔÙ: Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÙ 113
æÏÒÍÁÌØÎÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÁÄÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÐÏ ÉÎÄÕËÃÉÉ ÔÁËÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï: ÅÓÌÉ
ÆÏÒÍÕÌÁ ϕ ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ÓÉÇÎÁÔÕÒÙ ÉÓÔÉÎÎÁ ÐÒÉ ÏÃÅÎËÅ π, ÔÏ ÏÎÁ ÉÓÔÉÎÎÁ É
ÐÒÉ ÏÃÅÎËÅ π
0
, × ËÏÔÏÒÏÊ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÓÅÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÍÅÎÑÀÔ ÚÎÁË. (ðÏÄÒÏÂÎÏ
ÍÙ ÏÂßÑÓÎÉÍ ÜÔÏ × ÏÂÝÅÊ ÓÉÔÕÁÃÉÉ ÄÁÌØÛÅ.)
óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÏÂÝÕÀ ÓÈÅÍÕ, ËÏÔÏÒÏÊ ÓÌÅÄÕÅÔ ÜÔÏ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ
ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÓÉÇÎÁÔÕÒÁ σ É ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÑ ÜÔÏÊ ÓÉÇÎÁÔÕÒÙ, ÎÏÓÉ-
ÔÅÌÅÍ ËÏÔÏÒÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï M. ÷ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
α: M → M ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÉ, ÅÓÌÉ ×ÓÅ ÆÕÎËÃÉÉ
É ÐÒÅÄÉËÁÔÙ, ×ÈÏÄÑÝÉÅ × ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÀ, ÕÓÔÏÊÞÉ×Ù ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ α. ðÒÉ
ÜÔÏÍ k-ÍÅÓÔÎÙÊ ÐÒÅÄÉËÁÔ P ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÙÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ α, ÅÓÌÉ
P (α(m
1
), . . . , α(m
k
)) ⇔ P (m
1
, . . . , m
k
)
ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× m
1
, . . . , m
k
∈ M. áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ k-ÍÅÓÔÎÁÑ
ÆÕÎËÃÉÑ f ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ α, ÅÓÌÉ
f(α(m
1
), . . . , α(m
k
)) = α(f(m
1
, . . . , m
k
)).
üÔÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÏÂÏÂÝÁÅÔ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÄÌÑ
ÇÒÕÐÐ, ËÏÌÅÃ, ÐÏÌÅÊ É Ô. Ä.
ôÅÏÒÅÍÁ 37. ðÒÅÄÉËÁÔ, ×ÙÒÁÚÉÍÙÊ × ÄÁÎÎÏÊ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÉ, ÕÓÔÏÊ-
ÞÉ× ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ Å¾ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ×.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÒÏ×ÅÄ¾Í ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÇÏ (ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ-
ÇÏ) ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÆÏÒÍÁÌØÎÏ.
ðÕÓÔØ π ¡ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÏÃÅÎËÁ, ÔÏ ÅÓÔØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, ÓÔÁ×ÑÝÅÅ × ÓÏÏÔ×ÅÔ-
ÓÔ×ÉÅ ×ÓÅÍ ÉÎÄÉ×ÉÄÎÙÍ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÎÏÓÉÔÅÌÑ. þÅÒÅÚ
α ◦ π ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÏÃÅÎËÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÐÏÌÕÞÉÔÓÑ, ÅÓÌÉ Ë ÚÎÁÞÅÎÉÀ ËÁÖÄÏÊ ÐÅÒÅ-
ÍÅÎÎÏÊ ÐÒÉÍÅÎÉÔØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ α; ÄÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, α ◦ π(ξ) = α(π(ξ)) ÄÌÑ
ÌÀÂÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ξ.
ðÅÒ×ÙÊ ÛÁÇ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÉÎÄÕËÃÉÅÊ ÐÏ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÀ ÔÅÒÍÁ t
ÄÏËÁÚÁÔØ ÔÁËÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ: ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÔÅÒÍÁ t ÐÒÉ ÏÃÅÎËÅ α ◦ π ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ
ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÅÍ α Ë ÚÎÁÞÅÎÉÀ ÔÅÒÍÁ t ÐÒÉ ÏÃÅÎËÅ π:
[t](α ◦ π) = α([t](π)).
äÌÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÜÔÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, Á ÛÁÇ ÉÎÄÕËÃÉÉ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔØ
×ÓÅÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ α.
ôÅÐÅÒØ ÉÎÄÕËÃÉÅÊ ÐÏ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÀ ÆÏÒÍÕÌÙ ϕ ÌÅÇËÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÔÁËÏÅ ÕÔ×ÅÒ-
ÖÄÅÎÉÅ:
[ϕ](α ◦ π) = [ϕ](π).
íÙ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ×ÙÐÉÓÙ×ÁÔØ ÜÔÕ ÐÒÏ×ÅÒËÕ; ÓËÁÖÅÍ ÌÉÛØ, ÞÔÏ ×ÚÁÉÍÎÁÑ ÏÄÎÏ-
ÚÎÁÞÎÏÓÔØ α ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ, ËÏÇÄÁ ÍÙ ÒÁÚÂÉÒÁÅÍ ÓÌÕÞÁÊ Ë×ÁÎÔÏÒÏ×. (÷ ÓÁÍÏÍ
§5. îÅ×ÙÒÁÚÉÍÙÅ ÐÒÅÄÉËÁÔÙ: Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÙ                                113

    æÏÒÍÁÌØÎÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÁÄÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÐÏ ÉÎÄÕËÃÉÉ ÔÁËÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï: ÅÓÌÉ
ÆÏÒÍÕÌÁ ϕ ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ÓÉÇÎÁÔÕÒÙ ÉÓÔÉÎÎÁ ÐÒÉ ÏÃÅÎËÅ π, ÔÏ ÏÎÁ ÉÓÔÉÎÎÁ É
ÐÒÉ ÏÃÅÎËÅ π 0 , × ËÏÔÏÒÏÊ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÓÅÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÍÅÎÑÀÔ ÚÎÁË. (ðÏÄÒÏÂÎÏ
ÍÙ ÏÂßÑÓÎÉÍ ÜÔÏ × ÏÂÝÅÊ ÓÉÔÕÁÃÉÉ ÄÁÌØÛÅ.)
    óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÏÂÝÕÀ ÓÈÅÍÕ, ËÏÔÏÒÏÊ ÓÌÅÄÕÅÔ ÜÔÏ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ
ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÓÉÇÎÁÔÕÒÁ σ É ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÑ ÜÔÏÊ ÓÉÇÎÁÔÕÒÙ, ÎÏÓÉ-
ÔÅÌÅÍ ËÏÔÏÒÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï M. ÷ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
α : M → M ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÉ, ÅÓÌÉ ×ÓÅ ÆÕÎËÃÉÉ
É ÐÒÅÄÉËÁÔÙ, ×ÈÏÄÑÝÉÅ × ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÀ, ÕÓÔÏÊÞÉ×Ù ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ α. ðÒÉ
ÜÔÏÍ k-ÍÅÓÔÎÙÊ ÐÒÅÄÉËÁÔ P ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÙÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ α, ÅÓÌÉ
                  P (α(m1 ), . . . , α(mk )) ⇔ P (m1 , . . . , mk )
ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× m1 , . . . , mk ∈ M. áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ k-ÍÅÓÔÎÁÑ
ÆÕÎËÃÉÑ f ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ α, ÅÓÌÉ
                 f (α(m1), . . . , α(mk )) = α(f (m1, . . . , mk )).
üÔÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÏÂÏÂÝÁÅÔ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÄÌÑ
ÇÒÕÐÐ, ËÏÌÅÃ, ÐÏÌÅÊ É Ô. Ä.
  ôÅÏÒÅÍÁ 37. ðÒÅÄÉËÁÔ, ×ÙÒÁÚÉÍÙÊ × ÄÁÎÎÏÊ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÉ, ÕÓÔÏÊ-
ÞÉ× ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ Å¾ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ×.
   äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÒÏ×ÅÄ¾Í ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÇÏ (ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ-
ÇÏ) ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÆÏÒÍÁÌØÎÏ.
   ðÕÓÔØ π ¡ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÏÃÅÎËÁ, ÔÏ ÅÓÔØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, ÓÔÁ×ÑÝÅÅ × ÓÏÏÔ×ÅÔ-
ÓÔ×ÉÅ ×ÓÅÍ ÉÎÄÉ×ÉÄÎÙÍ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÎÏÓÉÔÅÌÑ. þÅÒÅÚ
α ◦ π ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÏÃÅÎËÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÐÏÌÕÞÉÔÓÑ, ÅÓÌÉ Ë ÚÎÁÞÅÎÉÀ ËÁÖÄÏÊ ÐÅÒÅ-
ÍÅÎÎÏÊ ÐÒÉÍÅÎÉÔØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ α; ÄÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, α ◦ π(ξ) = α(π(ξ)) ÄÌÑ
ÌÀÂÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ξ.
   ðÅÒ×ÙÊ ÛÁÇ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÉÎÄÕËÃÉÅÊ ÐÏ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÀ ÔÅÒÍÁ t
ÄÏËÁÚÁÔØ ÔÁËÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ: ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÔÅÒÍÁ t ÐÒÉ ÏÃÅÎËÅ α ◦ π ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ
ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÅÍ α Ë ÚÎÁÞÅÎÉÀ ÔÅÒÍÁ t ÐÒÉ ÏÃÅÎËÅ π:
                             [t](α ◦ π) = α([t](π)).
äÌÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÜÔÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, Á ÛÁÇ ÉÎÄÕËÃÉÉ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔØ
×ÓÅÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ α.
   ôÅÐÅÒØ ÉÎÄÕËÃÉÅÊ ÐÏ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÀ ÆÏÒÍÕÌÙ ϕ ÌÅÇËÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÔÁËÏÅ ÕÔ×ÅÒ-
ÖÄÅÎÉÅ:
                           [ϕ](α ◦ π) = [ϕ](π).
íÙ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ×ÙÐÉÓÙ×ÁÔØ ÜÔÕ ÐÒÏ×ÅÒËÕ; ÓËÁÖÅÍ ÌÉÛØ, ÞÔÏ ×ÚÁÉÍÎÁÑ ÏÄÎÏ-
ÚÎÁÞÎÏÓÔØ α ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ, ËÏÇÄÁ ÍÙ ÒÁÚÂÉÒÁÅÍ ÓÌÕÞÁÊ Ë×ÁÎÔÏÒÏ×. (÷ ÓÁÍÏÍ

Страницы