Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 163 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§3. çÌÁ×ÎÙÅ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á 163
ëÁË É ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÊ, ÍÏÖÎÏ ÐÅÒÅÊÔÉ Ë ÎÕÍÅÒÁÃÉÑÍ. ëÁÖÄÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
U ⊂ N ×N ÚÁÄÁ¾Ô ÎÕÍÅÒÁÃÉÀ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁÔÕÒÁÌØ-
ÎÏÇÏ ÒÑÄÁ: ÞÉÓÌÏ n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÏÍÅÒÏÍ n-ÇÏ ÓÅÞÅÎÉÑ U
n
= {x | hn, xi ∈ U}.
ðÅÒÅÞÉÓÌÉÍÏÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Á N × N ÚÁÄÁ¾Ô ÎÕÍÅÒÁÃÉÀ ÎÅËÏÔÏ-
ÒÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÙÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ; ÔÁËÉÅ ÎÕ-
ÍÅÒÁÃÉÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÍÉ. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÍÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï W ⊂ N × N
ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏ, ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ×ÓÑËÏÅ ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÏÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÁÔÕ-
ÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ ÉÍÅÅÔ W -ÎÏÍÅÒ; ÏÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÌÁ×ÎÙÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ,
ËÏÇÄÁ ÌÀÂÁÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÎÕÍÅÒÁÃÉÑ V (ÌÀÂÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÙÈ
ÍÎÏÖÅÓÔ×) ×ÙÞÉÓÌÉÍÏ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë W -ÎÕÍÅÒÁÃÉÉ × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ V
n
=
= W
s(n)
ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ s É ÄÌÑ ×ÓÅÈ n.
ôÅÏÒÅÍÁ 61. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÇÌÁ×ÎÏÅ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÏÅ ÍÎÏ-
ÖÅÓÔ×Ï W ⊂ N × N.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. üÔÁ ÔÅÏÒÅÍÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅÍ ÔÁËÏÇÏ
ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ:
ìÅÍÍÁ. ïÂÌÁÓÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÄÌÑ ËÌÁÓÓÁ
×ÙÞÉÓÌÉÍÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÏÄÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÌÁ×ÎÙÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍ
ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÄÌÑ ËÌÁÓÓÁ ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÙÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× N.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÌÅÍÍÙ. ðÕÓÔØ U ¡ ÇÌÁ×ÎÁÑ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ, Á
W ¡ ÏÂÌÁÓÔØ Å¾ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ. ðÕÓÔØ V ⊂ N ×N ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÐÅÒÅÞÉÓÌÉ-
ÍÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÙÞÉÓÌÉÍÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ G Ó ÏÂÌÁÓÔØÀ ÏÐÒÅÄÅÌÅ-
ÎÉÑ V . ðÏÓËÏÌØËÕ ÆÕÎËÃÉÑ U Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÌÁ×ÎÏÊ, ÎÁÊľÔÓÑ ×ÓÀÄÕ ÏÐÒÅÄÅ̾Î-
ÎÁÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ s: N → N, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ G
n
= U
s(n)
ÐÒÉ ×ÓÅÈ n. ôÏ-
ÇÄÁ ÒÁ×ÎÙ É ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÊ G
n
É U
s(n)
, ÔÏ ÅÓÔØ V
n
= W
s(n)
.
úÁÄÁÞÁ 193. ðÏÓÔÒÏÊÔÅ ÇÌÁ×ÎÏÅ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÅÐÏÓÒÅÄ-
ÓÔ×ÅÎÎÏ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï N
3
(ÐÏ ÁÎÁÌÏÇÉÉ Ó ×ÙÛÅ
ÐÒÉ×ÅľÎÎÙÍ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÅÍ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ).
ëÁË É ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÊ, ÍÙ ÔÅÐÅÒØ ÍÏÖÅÍ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ, ÞÔÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍ ÏÐÅ-
ÒÁÃÉÑÍ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÎÏ-
ÍÅÒÏ×. ÷ÏÔ ÌÉÛØ ÏÄÉÎ ÐÒÉÍÅÒ ÔÁËÏÇÏ ÒÏÄÁ:
ôÅÏÒÅÍÁ 62. ðÕÓÔØ W ⊂ N×N ¡ ÇÌÁ×ÎÏÅ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÏÅ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. ôÏÇÄÁ ÐÏ W -ÎÏÍÅÒÁÍ Ä×ÕÈ ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÏÖÎÏ
ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉ ÐÏÌÕÞÉÔØ ÎÏÍÅÒ ÉÈ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ: ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ ×Ù-
ÞÉÓÌÉÍÁÑ ×ÓÀÄÕ ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ Ä×ÕÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ× s, ÞÔÏ
W
s(m,n)
= W
m
∩ W
n
ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ m É n.
§3. çÌÁ×ÎÙÅ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á                                  163

   ëÁË É ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÊ, ÍÏÖÎÏ ÐÅÒÅÊÔÉ Ë ÎÕÍÅÒÁÃÉÑÍ. ëÁÖÄÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
U ⊂ N × N ÚÁÄÁ¾Ô ÎÕÍÅÒÁÃÉÀ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁÔÕÒÁÌØ-
ÎÏÇÏ ÒÑÄÁ: ÞÉÓÌÏ n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÏÍÅÒÏÍ n-ÇÏ ÓÅÞÅÎÉÑ Un = {x | hn, xi ∈ U}.
ðÅÒÅÞÉÓÌÉÍÏÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Á N × N ÚÁÄÁ¾Ô ÎÕÍÅÒÁÃÉÀ ÎÅËÏÔÏ-
ÒÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÙÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ; ÔÁËÉÅ ÎÕ-
ÍÅÒÁÃÉÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÍÉ. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÍÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï W ⊂ N × N
ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏ, ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ×ÓÑËÏÅ ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÏÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÁÔÕ-
ÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ ÉÍÅÅÔ W -ÎÏÍÅÒ; ÏÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÌÁ×ÎÙÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ,
ËÏÇÄÁ ÌÀÂÁÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÎÕÍÅÒÁÃÉÑ V (ÌÀÂÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÙÈ
ÍÎÏÖÅÓÔ×) ×ÙÞÉÓÌÉÍÏ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë W -ÎÕÍÅÒÁÃÉÉ × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ Vn =
= Ws(n) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ s É ÄÌÑ ×ÓÅÈ n.
  ôÅÏÒÅÍÁ 61. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÇÌÁ×ÎÏÅ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÏÅ ÍÎÏ-
ÖÅÓÔ×Ï W ⊂ N × N.
   äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. üÔÁ ÔÅÏÒÅÍÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅÍ ÔÁËÏÇÏ
ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ:
   ìÅÍÍÁ. ïÂÌÁÓÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÄÌÑ ËÌÁÓÓÁ
×ÙÞÉÓÌÉÍÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÏÄÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÌÁ×ÎÙÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍ
ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÄÌÑ ËÌÁÓÓÁ ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÙÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× N.
   äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÌÅÍÍÙ. ðÕÓÔØ U ¡ ÇÌÁ×ÎÁÑ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ, Á
W ¡ ÏÂÌÁÓÔØ Å¾ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ. ðÕÓÔØ V ⊂ N × N ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÐÅÒÅÞÉÓÌÉ-
ÍÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÙÞÉÓÌÉÍÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ G Ó ÏÂÌÁÓÔØÀ ÏÐÒÅÄÅÌÅ-
ÎÉÑ V . ðÏÓËÏÌØËÕ ÆÕÎËÃÉÑ U Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÌÁ×ÎÏÊ, ÎÁÊľÔÓÑ ×ÓÀÄÕ ÏÐÒÅÄÅ̾Î-
ÎÁÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ s : N → N, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ Gn = Us(n) ÐÒÉ ×ÓÅÈ n. ôÏ-
ÇÄÁ ÒÁ×ÎÙ É ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÊ Gn É Us(n) , ÔÏ ÅÓÔØ Vn = Ws(n) .
  úÁÄÁÞÁ 193. ðÏÓÔÒÏÊÔÅ ÇÌÁ×ÎÏÅ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÅÐÏÓÒÅÄ-
ÓÔ×ÅÎÎÏ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï N3 (ÐÏ ÁÎÁÌÏÇÉÉ Ó ×ÙÛÅ
ÐÒÉ×ÅľÎÎÙÍ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÅÍ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ).
  ëÁË É ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÊ, ÍÙ ÔÅÐÅÒØ ÍÏÖÅÍ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ, ÞÔÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍ ÏÐÅ-
ÒÁÃÉÑÍ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÎÏ-
ÍÅÒÏ×. ÷ÏÔ ÌÉÛØ ÏÄÉÎ ÐÒÉÍÅÒ ÔÁËÏÇÏ ÒÏÄÁ:
   ôÅÏÒÅÍÁ 62. ðÕÓÔØ W ⊂ N×N ¡ ÇÌÁ×ÎÏÅ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÏÅ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. ôÏÇÄÁ ÐÏ W -ÎÏÍÅÒÁÍ Ä×ÕÈ ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÏÖÎÏ
ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉ ÐÏÌÕÞÉÔØ ÎÏÍÅÒ ÉÈ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ: ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ ×Ù-
ÞÉÓÌÉÍÁÑ ×ÓÀÄÕ ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ Ä×ÕÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ× s, ÞÔÏ
                           Ws(m,n) = Wm ∩ Wn
ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ m É n.

Страницы