Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 166 стр.

166                                   çÌÁ×Á IX. îÕÍÅÒÁÃÉÉ É ÏÐÅÒÁÃÉÉ

ÒÙÊ ÐÏ U-ÎÏÍÅÒÕ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÐÒÏ×ÅÒÑÌ ÂÙ, ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÌÉ ÏÎÁ Ó×ÏÊ-
ÓÔ×ÏÍ A. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {n | Un ∈ A} ÎÅÒÁÚÒÅÛÉÍÏ.
  äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÏÓÍÏÔÒÉÍ, ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÌÉ ÎÉÇÄÅ ÎÅ ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÁÑ
ÆÕÎËÃÉÑ (ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ Å¾ ζ) ËÌÁÓÓÕ A, É ×ÏÚØÍ¾Í ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ ξ ¥Ó
ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ¥ (ÅÓÌÉ ζ ∈ A, ÔÏ ξ ∈ / A É ÎÁÏÂÏÒÏÔ).
  äÁÌÅÅ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÍ ËÁË ÒÁÎØÛÅ, ÎÏ ÔÏÌØËÏ ×ÍÅÓÔÏ ÎÕÌÅ×ÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ×ÏÚØ;Í
ÆÕÎËÃÉÀ ξ: ÐÏÌÏÖÉÍ
                            
                              ξ(x), ÅÓÌÉ n ∈ K,
                 V (n, x) =
                              ÎÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ, ÅÓÌÉ n ∈/ K.
ëÁË É ÒÁÎØÛÅ, ÆÕÎËÃÉÑ V ÂÕÄÅÔ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ (ÄÌÑ ÄÁÎÎÙÈ n É x ÍÙ ÏÖÉ-
ÄÁÅÍ ÐÏÑ×ÌÅÎÉÑ n × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å K, ÐÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ×ÙÞÉÓÌÑÅÍ ξ(x)). ðÒÉ n ∈ K
ÆÕÎËÃÉÑ Vn ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ξ, ÐÒÉ n ∈/ K ¡ Ó ζ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÐÒÏ×ÅÒÑÑ
Ó×ÏÊÓÔ×Ï Vn ∈ A (ÅÓÌÉ ÂÙ ÜÔÏ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÓÄÅÌÁÔØ ×ÏÐÒÅËÉ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ
ÔÅÏÒÅÍÙ), ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÕÚÎÁÔØ, ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÌÉ ÞÉÓÌÏ n ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ K
ÉÌÉ ÎÅÔ.
   îÅËÏÔÏÒÙÍ ÎÅÄÏÓÔÁÔËÏÍ ÜÔÏÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÇÏ ÎÅÓÉÍÍÅ-
ÔÒÉÞÎÏÓÔØ (Ó ÏÄÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ ÏÔ A ÍÙ ÂÅÒ¾Í ÎÉÇÄÅ ÎÅ ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÕÀ ÆÕÎË-
ÃÉÀ, Ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ ¡ ÌÀÂÕÀ). ÷ÏÔ ÂÏÌÅÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÊ ×ÁÒÉÁÎÔ. ðÏËÁ-
ÖÅÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ Ó×ÏÊÓÔ×Ï A ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÐÏÚÎÁ×ÁÔØ ÐÏ U-ÎÏÍÅÒÁÍ, ÔÏ ÌÀÂÙÅ Ä×Á
ÎÅÐÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á P É Q ÏÔÄÅÌÉÍÙ ÒÁÚÒÅÛÉÍÙÍ
ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ. ÷ÙÂÅÒÅÍ ËÁËÉÅ-ÎÉÂÕÄØ Ä×Å ÆÕÎËÃÉÉ ξ É η, ÎÁÈÏÄÑÝÉÅÓÑ ¥ÐÏ
ÒÁÚÎÙÅ ÓÔÏÒÏÎÙ¥ ÏÔ A. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ
                          
                           ξ(x), ÅÓÌÉ n ∈ P ,
                          
                V (n, x) = η(x), ÅÓÌÉ n ∈ Q,
                          
                           ÎÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ, ÅÓÌÉ n ∈
                                                  / P ∪ Q.
üÔÁ ÆÕÎËÃÉÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁ: ÄÌÑ ÚÁÄÁÎÎÙÈ n É x ÏÖÉÄÁÅÍ, ÐÏËÁ n ÐÏÑ×ÉÔÓÑ
ÌÉÂÏ × P , ÌÉÂÏ × Q, ÐÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÚÁÐÕÓËÁÅÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ξ(x)
ÉÌÉ η(x).
   åÓÌÉ n ∈ P , ÔÏ Vn ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ξ; ÅÓÌÉ n ∈ Q, ÔÏ Vn ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó η.
ðÏÜÔÏÍÕ, ÐÒÏ×ÅÒÑÑ, ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÌÉ Vn ËÌÁÓÓÕ A, ÍÙ ÍÏÇÌÉ ÂÙ ÒÁÚÒÅÛÉÍÏ
ÏÔÄÅÌÉÔØ P ÏÔ Q. ðÏÌÕÞÁÅÍ ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ É ÚÁ×ÅÒÛÁÅÔ ÜÔÏÔ ÂÏÌÅÅ
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÊ ×ÁÒÉÁÎÔ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á.
   ÷ÔÏÒÏÊ ×ÁÒÉÁÎÔ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÐÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ×ÅÒÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÓÉ-
ÌÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ: ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ ϕ É ψ É
ÌÀÂÏÊ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ U ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÓÅÈ U-ÎÏÍÅÒÏ× ÆÕÎË-
ÃÉÉ ϕ É ÆÕÎËÃÉÉ ψ ÎÅ ÏÔÄÅÌÉÍÙ ÒÁÚÒÅÛÉÍÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ. (úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ
ÜÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÅ ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÙ, ËÁË ÍÙ ×ÐÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ Õ×ÉÄÉÍ.)