Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 187 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4. ôÅÏÒÅÍÙ ôÁÒÓËÏÇÏ É ç¾ÄÅÌÑ 187
÷ÓÐÏÍÉÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÕ 69, ÍÙ ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ ×ÓÑËÁÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÎÁ ÍÁ-
ÛÉÎÅ ôØÀÒÉÎÇÁ ÆÕÎËÃÉÑ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÎÁ. ðÒÉÎÉÍÁÑ ÔÅÚÉÓ ôØÀÒÉÎÇÁ, ÍÏÖÎÏ
ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÇÒÁÆÉË ÌÀÂÏÊ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÍ
ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ.
§4. ôÅÏÒÅÍÙ ôÁÒÓËÏÇÏ É ç¾ÄÅÌÑ
ðÏÓËÏÌØËÕ ÇÒÁÆÉËÉ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÎÙ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÒÁÚ-
ÒÅÛÉÍÙÅ É ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÔÏÖÅ ÂÕÄÕÔ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÍÉ.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÐÅÒØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï T , ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÓÅ ÉÓ-
ÔÉÎÎÙÅ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÂÅÚ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ× (ÔÏÞÎÅÅ, ÉÈ ÎÏÍÅÒÁ × ËÁ-
ËÏÊ-ÔÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ ÎÕÍÅÒÁÃÉÉ ×ÓÅÈ ÆÏÒÍÕÌ.)
ôÅÏÒÅÍÁ 72. íÎÏÖÅÓÔ×Ï T ÎÅ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÎÏ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. îÁÞÉÎÁÑ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÔÅÏÒÅÍÕ ôÁÒÓËÏÇÏ, ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ,
ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÏÍÅÒÏ× ×ÓÅÈ ÉÓÔÉÎÎÙÈ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÈ ÆÏÒÍÕÌ (ÂÅÚ ÐÁÒÁ-
ÍÅÔÒÏ×) ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÎÏ. ðÕÓÔØ T ¡ ÜÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, Á τ (x) ¡ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Õ-
ÀÝÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ. ðÅÒÅÎÕÍÅÒÕÅÍ ÔÁËÖÅ ×ÓÅ ÆÏÒÍÕÌÙ Ó ÏÄÎÉÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏÍ x;
ÐÕÓÔØ F
n
(x) ¡ ÆÏÒÍÕÌÁ, ÉÍÅÀÝÁÑ ÎÏÍÅÒ n × ÜÔÏÊ ÎÕÍÅÒÁÃÉÉ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ
ÆÏÒÍÕÌÕ Ó ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏÍ x, ÕÔ×ÅÒÖÄÁÀÝÕÀ, ÞÔÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ
ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ x × x-ÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ Ó ÐÁÒÁÍÅÔÒÏÍ ÌÏÖÅÎ. üÔÕ ÆÏÒ-
ÍÕÌÕ ÍÏÖÎÏ ÎÁÐÉÓÁÔØ ÔÁË:
∃z(¬τ (z) ∧ Subst(z, x, x)),
ÇÄÅ Subst(p, q, r) ¡ ÆÏÒÍÕÌÁ Ó ÔÒÅÍÑ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ, ×ÙÒÁÖÁÀÝÁÑ ÔÁËÏÅ Ó×ÏÊ-
ÓÔ×Ï: ¥p ÅÓÔØ ÎÏÍÅÒ (× ÎÕÍÅÒÁÃÉÉ ×ÓÅÈ ÆÏÒÍÕÌ ÂÅÚ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ×) ÔÏÊ ÆÏÒÍÕ-
ÌÙ, ËÏÔÏÒÁÑ ÐÏÌÕÞÉÔÓÑ, ÅÓÌÉ × q-À ÆÏÒÍÕÌÕ Ó ÏÄÎÉÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏÍ ÐÏÄÓÔÁ×ÉÔØ
ËÏÎÓÔÁÎÔÕ r ×ÍÅÓÔÏ ÜÔÏÇÏ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ¥. úÁÐÉÓÁÎÎÏÅ × ËÁ×ÙÞËÁÈ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÏÐÉ-
ÓÙ×ÁÅÔ ÇÒÁÆÉË ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ (ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÐÒÏÓÔÙÍ
ÓÉÎÔÁËÓÉÞÅÓËÉÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÑÍ É ÐÅÒÅÈÏÄÕ ÏÔ ÏÄÎÏÊ ÎÕÍÅÒÁÃÉÉ Ë ÄÒÕÇÏÊ) É ÐÏ-
ÔÏÍÕ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÙÒÁÖÁÀÝÁÑ ÅÇÏ ÆÏÒÍÕÌÁ.
éÔÁË, ÍÙ ÎÁÐÉÓÁÌÉ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ Ó ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏÍ x.
ðÕÓÔØ ÏÎÁ ÉÍÅÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÎÏÍÅÒ N. ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ ÜÔÏÔ ÎÏÍÅÒ N ×ÍÅÓÔÏ Å¾
ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ. ðÏÌÕÞÉÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ÂÅÚ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ×. éÚ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ
×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ÉÓÔÉÎÎÁ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ
ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ ÞÉÓÌÁ N × ÆÏÒÍÕÌÕ ÎÏÍÅÒ N (ÔÏ ÅÓÔØ ÓÁÍÁ ÜÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ!) ÌÏÖÅÎ.
üÔÏ ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÚÁ×ÅÒÛÁÅÔ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ ôÁÒÓËÏÇÏ. íÙ ×É-
ÄÉÍ, ÞÔÏ ÎÁÍ ÐÏÔÒÅÂÏ×ÁÌÁÓØ ×ÙÒÁÚÉÍÏÓÔØ × ÁÒÉÆÍÅÔÉËÅ ÎÅ ÌÀÂÙÈ ×ÙÞÉÓÌÉ-
ÍÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ, Á ÏÄÎÏÊ ×ÐÏÌÎÅ ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ. ðÒÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÍ ÔÅÒÐÅÎÉÉ ÓÏÏÔ-
×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÍÏÖÎÏ-ÔÁËÉ ÎÁÐÉÓÁÔØ, É ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï
§4. ôÅÏÒÅÍÙ ôÁÒÓËÏÇÏ É ç¾ÄÅÌÑ                                       187

   ÷ÓÐÏÍÉÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÕ 69, ÍÙ ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ ×ÓÑËÁÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÎÁ ÍÁ-
ÛÉÎÅ ôØÀÒÉÎÇÁ ÆÕÎËÃÉÑ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÎÁ. ðÒÉÎÉÍÁÑ ÔÅÚÉÓ ôØÀÒÉÎÇÁ, ÍÏÖÎÏ
ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÇÒÁÆÉË ÌÀÂÏÊ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÍ
ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ.

  §4. ôÅÏÒÅÍÙ ôÁÒÓËÏÇÏ É ç¾ÄÅÌÑ
   ðÏÓËÏÌØËÕ ÇÒÁÆÉËÉ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÎÙ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÒÁÚ-
ÒÅÛÉÍÙÅ É ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÔÏÖÅ ÂÕÄÕÔ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÍÉ.
   òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÐÅÒØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï T , ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÓÅ ÉÓ-
ÔÉÎÎÙÅ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÂÅÚ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ× (ÔÏÞÎÅÅ, ÉÈ ÎÏÍÅÒÁ × ËÁ-
ËÏÊ-ÔÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ ÎÕÍÅÒÁÃÉÉ ×ÓÅÈ ÆÏÒÍÕÌ.)
  ôÅÏÒÅÍÁ 72. íÎÏÖÅÓÔ×Ï T ÎÅ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÎÏ.
   äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. îÁÞÉÎÁÑ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÔÅÏÒÅÍÕ ôÁÒÓËÏÇÏ, ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ,
ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÏÍÅÒÏ× ×ÓÅÈ ÉÓÔÉÎÎÙÈ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÈ ÆÏÒÍÕÌ (ÂÅÚ ÐÁÒÁ-
ÍÅÔÒÏ×) ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÎÏ. ðÕÓÔØ T ¡ ÜÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, Á τ (x) ¡ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Õ-
ÀÝÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ. ðÅÒÅÎÕÍÅÒÕÅÍ ÔÁËÖÅ ×ÓÅ ÆÏÒÍÕÌÙ Ó ÏÄÎÉÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏÍ x;
ÐÕÓÔØ Fn (x) ¡ ÆÏÒÍÕÌÁ, ÉÍÅÀÝÁÑ ÎÏÍÅÒ n × ÜÔÏÊ ÎÕÍÅÒÁÃÉÉ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ
ÆÏÒÍÕÌÕ Ó ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏÍ x, ÕÔ×ÅÒÖÄÁÀÝÕÀ, ÞÔÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ
ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ x × x-ÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ Ó ÐÁÒÁÍÅÔÒÏÍ ÌÏÖÅÎ. üÔÕ ÆÏÒ-
ÍÕÌÕ ÍÏÖÎÏ ÎÁÐÉÓÁÔØ ÔÁË:
                       ∃z(¬τ (z) ∧ Subst(z, x, x)),
ÇÄÅ Subst(p, q, r) ¡ ÆÏÒÍÕÌÁ Ó ÔÒÅÍÑ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ, ×ÙÒÁÖÁÀÝÁÑ ÔÁËÏÅ Ó×ÏÊ-
ÓÔ×Ï: ¥p ÅÓÔØ ÎÏÍÅÒ (× ÎÕÍÅÒÁÃÉÉ ×ÓÅÈ ÆÏÒÍÕÌ ÂÅÚ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ×) ÔÏÊ ÆÏÒÍÕ-
ÌÙ, ËÏÔÏÒÁÑ ÐÏÌÕÞÉÔÓÑ, ÅÓÌÉ × q-À ÆÏÒÍÕÌÕ Ó ÏÄÎÉÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏÍ ÐÏÄÓÔÁ×ÉÔØ
ËÏÎÓÔÁÎÔÕ r ×ÍÅÓÔÏ ÜÔÏÇÏ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ¥. úÁÐÉÓÁÎÎÏÅ × ËÁ×ÙÞËÁÈ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÏÐÉ-
ÓÙ×ÁÅÔ ÇÒÁÆÉË ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ (ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÐÒÏÓÔÙÍ
ÓÉÎÔÁËÓÉÞÅÓËÉÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÑÍ É ÐÅÒÅÈÏÄÕ ÏÔ ÏÄÎÏÊ ÎÕÍÅÒÁÃÉÉ Ë ÄÒÕÇÏÊ) É ÐÏ-
ÔÏÍÕ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÙÒÁÖÁÀÝÁÑ ÅÇÏ ÆÏÒÍÕÌÁ.
   éÔÁË, ÍÙ ÎÁÐÉÓÁÌÉ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ Ó ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏÍ x.
ðÕÓÔØ ÏÎÁ ÉÍÅÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÎÏÍÅÒ N . ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ ÜÔÏÔ ÎÏÍÅÒ N ×ÍÅÓÔÏ Å¾
ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ. ðÏÌÕÞÉÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ÂÅÚ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ×. éÚ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ
×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ÉÓÔÉÎÎÁ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ
ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ ÞÉÓÌÁ N × ÆÏÒÍÕÌÕ ÎÏÍÅÒ N (ÔÏ ÅÓÔØ ÓÁÍÁ ÜÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ!) ÌÏÖÅÎ.
   üÔÏ ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÚÁ×ÅÒÛÁÅÔ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ ôÁÒÓËÏÇÏ. íÙ ×É-
ÄÉÍ, ÞÔÏ ÎÁÍ ÐÏÔÒÅÂÏ×ÁÌÁÓØ ×ÙÒÁÚÉÍÏÓÔØ × ÁÒÉÆÍÅÔÉËÅ ÎÅ ÌÀÂÙÈ ×ÙÞÉÓÌÉ-
ÍÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ, Á ÏÄÎÏÊ ×ÐÏÌÎÅ ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ. ðÒÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÍ ÔÅÒÐÅÎÉÉ ÓÏÏÔ-
×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÍÏÖÎÏ-ÔÁËÉ ÎÁÐÉÓÁÔØ, É ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï

Страницы