Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§8. ïÐÅÒÁÃÉÉ ÎÁÄ ÍÏÝÎÏÓÔÑÍÉ 35
ÌÉÂÏ {x
2
, y
2
}. ðÅÒ×ÏÅ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÔÁË ËÁË Ä×ÕÈÜÌÅÍÅÎÔÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÅ
ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁ×ÎÏ ÏÄÎÏÜÌÅÍÅÎÔÎÏÍÕ. úÎÁÞÉÔ, {x
1
, y
1
} = {x
2
, y
2
}. ó ÄÒÕÇÏÊ
ÓÔÏÒÏÎÙ, ÏÄÎÏÜÌÅÍÅÎÔÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {x
1
} ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÒÁ×ÅÎ-
ÓÔ×Á, ÐÏÜÔÏÍÕ ÏÎÏ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ É ÐÒÁ×ÏÊ, É ÐÏÔÏÍÕ ÒÁ×ÎÏ {x
2
} (ÐÏÓËÏÌØËÕ
ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁ×ÎÏ Ä×ÕÈÜÌÅÍÅÎÔÎÏÍÕ). ïÔÓÀÄÁ x
1
= x
2
É y
1
= y
2
, ÞÔÏ É
ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ.
áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÏÂÒÁÔØ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ x
2
6= y
2
.
ïÓÔÁÌÏÓØ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÓÉÔÕÁÃÉÀ, ËÏÇÄÁ x
1
= y
1
É x
2
= y
2
. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ
{x
1
, y
1
} = {x
1
} É ÐÏÔÏÍÕ ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÄÁÎÎÏÇÏ ÎÁÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÅÓÔØ {{x
1
}}.
áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÐÒÁ×ÁÑ ÅÇÏ ÞÁÓÔØ ÅÓÔØ {{x
2
}}, É ÐÏÔÏÍÕ x
1
= x
2
, ÔÁË
ÞÔÏ ×ÓÅ ÞÅÔÙÒÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁ x
1
, x
2
, y
1
, y
2
ÓÏ×ÐÁÄÁÀÔ.
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙ É ÄÒÕÇÉÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÊ ÐÁÒÙ, ÄÌÑ
ËÏÔÏÒÙÈ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏ, ÔÁË ÞÔÏ ÎÉËÁËÏÇÏ ÆÉÌÏÓÏÆÓËÏÇÏ
ÓÍÙÓÌÁ × ÜÔÏÍ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÎÅÔ ¡ ÜÔÏ ÐÒÏÓÔÏ ÕÄÏÂÎÙÊ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÊ ÐÒɾÍ.
úÁÄÁÞÁ 57. äÏËÁÖÉÔÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ 9 ÄÌÑ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÊ ÐÁ-
ÒÙ ÐÏ ÷ÉÎÅÒÕ: hx, yi = {{∅, {x}}, {{y}}}.
§8. ïÐÅÒÁÃÉÉ ÎÁÄ ÍÏÝÎÏÓÔÑÍÉ
íÏÝÎÏÓÔÉ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ¡ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, É ÉÈ ÍÏÖÎÏ ÓËÌÁ-
ÄÙ×ÁÔØ, ÕÍÎÏÖÁÔØ, ×ÏÚ×ÏÄÉÔØ × ÓÔÅÐÅÎØ. üÔÉ ÏÐÅÒÁÃÉÉ ÍÏÖÎÏ ÏÂÏÂÝÉÔØ É
ÎÁ ÍÏÝÎÏÓÔÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×, É ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÜÔÏ ÔÁË.
ðÕÓÔØ A É B ¡ Ä×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. þÔÏÂÙ ÓÌÏÖÉÔØ ÉÈ ÍÏÝÎÏÓÔÉ, ÎÁÄÏ ×ÚÑÔØ
ÍÏÝÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ∪B, ÅÓÌÉ A É B ÎÅ ÐÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ. åÓÌÉ ÏÎÉ ÐÅÒÅÓÅ-
ËÁÀÔÓÑ, ÔÏ ÉÈ ÎÁÄÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÎÁ ÎÅÐÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙÅ ÉÍ ÍÎÏÖÅ-
ÓÔ×Á A
0
É B
0
. íÏÝÎÏÓÔØ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ É ÂÕÄÅÔ ÓÕÍÍÏÊ ÍÏÝÎÏÓÔÅÊ ÍÎÏÖÅÓÔ×
A É B.
úÁÍÅÞÁÎÉÑ. 1. þÔÏÂÙ ÉÚÂÅÖÁÔØ ÕÐÏÍÉÎÁÎÉÑ ÍÏÝÎÏÓÔÅÊ ËÁË ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØ-
ÎÙÈ ÏÂßÅËÔÏ×, ÓÌÅÄÕÅÔ ÓÞÉÔÁÔØ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á C ÅÓÔØ ÓÕÍ-
ÍÁ ÍÏÝÎÏÓÔÅÊ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÉÄÉÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅÍ (Á ÓËÁÚÁÎÎÏÅ
×ÙÛÅ ¡ ÅÇÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ). îÏ ÍÙ ÄÌÑ ÕÄÏÂÓÔ×Á ÂÕÄÅÍ ÞÁÓÔÏ ÐÒÅÎÅÂÒÅÇÁÔØ
ÔÁËÉÍÉ ÐÒÅÄÏÓÔÏÒÏÖÎÏÓÔÑÍÉ.
2. ÷ ÐÒÉÎÃÉÐÅ ÓÌÅÄÏ×ÁÌÏ ÂÙ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É
ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A
0
∪B
0
ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÔÏÇÏ, ËÁËÉÅ ÉÍÅÎÎÏ
ÎÅÐÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A
0
É B
0
(ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙÅ A É B) ÍÙ ×ÙÂÅÒÅÍ.
(þÔÏ, ×ÐÒÏÞÅÍ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ.)
3. äÌÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÏÂÙÞÎÏÅ ÓÌÏÖÅÎÉÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ
ÞÉÓÅÌ.
§8. ïÐÅÒÁÃÉÉ ÎÁÄ ÍÏÝÎÏÓÔÑÍÉ                                            35

ÌÉÂÏ {x2, y2}. ðÅÒ×ÏÅ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÔÁË ËÁË Ä×ÕÈÜÌÅÍÅÎÔÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÅ
ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁ×ÎÏ ÏÄÎÏÜÌÅÍÅÎÔÎÏÍÕ. úÎÁÞÉÔ, {x1, y1} = {x2, y2 }. ó ÄÒÕÇÏÊ
ÓÔÏÒÏÎÙ, ÏÄÎÏÜÌÅÍÅÎÔÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {x1} ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÒÁ×ÅÎ-
ÓÔ×Á, ÐÏÜÔÏÍÕ ÏÎÏ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ É ÐÒÁ×ÏÊ, É ÐÏÔÏÍÕ ÒÁ×ÎÏ {x2} (ÐÏÓËÏÌØËÕ
ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁ×ÎÏ Ä×ÕÈÜÌÅÍÅÎÔÎÏÍÕ). ïÔÓÀÄÁ x1 = x2 É y1 = y2 , ÞÔÏ É
ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ.
   áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÏÂÒÁÔØ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ x2 6= y2 .
   ïÓÔÁÌÏÓØ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÓÉÔÕÁÃÉÀ, ËÏÇÄÁ x1 = y1 É x2 = y2 . ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ
{x1, y1} = {x1} É ÐÏÔÏÍÕ ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÄÁÎÎÏÇÏ ÎÁÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÅÓÔØ {{x1}}.
áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÐÒÁ×ÁÑ ÅÇÏ ÞÁÓÔØ ÅÓÔØ {{x2}}, É ÐÏÔÏÍÕ x1 = x2, ÔÁË
ÞÔÏ ×ÓÅ ÞÅÔÙÒÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁ x1, x2, y1, y2 ÓÏ×ÐÁÄÁÀÔ.
  úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙ É ÄÒÕÇÉÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÊ ÐÁÒÙ, ÄÌÑ
ËÏÔÏÒÙÈ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏ, ÔÁË ÞÔÏ ÎÉËÁËÏÇÏ ÆÉÌÏÓÏÆÓËÏÇÏ
ÓÍÙÓÌÁ × ÜÔÏÍ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÎÅÔ ¡ ÜÔÏ ÐÒÏÓÔÏ ÕÄÏÂÎÙÊ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÊ ÐÒɾÍ.
  úÁÄÁÞÁ 57. äÏËÁÖÉÔÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ 9 ÄÌÑ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÊ ÐÁ-
ÒÙ ÐÏ ÷ÉÎÅÒÕ: hx, yi = {{∅, {x}}, {{y}}}.


  §8. ïÐÅÒÁÃÉÉ ÎÁÄ ÍÏÝÎÏÓÔÑÍÉ
   íÏÝÎÏÓÔÉ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ¡ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, É ÉÈ ÍÏÖÎÏ ÓËÌÁ-
ÄÙ×ÁÔØ, ÕÍÎÏÖÁÔØ, ×ÏÚ×ÏÄÉÔØ × ÓÔÅÐÅÎØ. üÔÉ ÏÐÅÒÁÃÉÉ ÍÏÖÎÏ ÏÂÏÂÝÉÔØ É
ÎÁ ÍÏÝÎÏÓÔÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×, É ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÜÔÏ ÔÁË.
   ðÕÓÔØ A É B ¡ Ä×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. þÔÏÂÙ ÓÌÏÖÉÔØ ÉÈ ÍÏÝÎÏÓÔÉ, ÎÁÄÏ ×ÚÑÔØ
ÍÏÝÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ∪ B, ÅÓÌÉ A É B ÎÅ ÐÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ. åÓÌÉ ÏÎÉ ÐÅÒÅÓÅ-
ËÁÀÔÓÑ, ÔÏ ÉÈ ÎÁÄÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÎÁ ÎÅÐÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙÅ ÉÍ ÍÎÏÖÅ-
ÓÔ×Á A0 É B 0 . íÏÝÎÏÓÔØ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ É ÂÕÄÅÔ ÓÕÍÍÏÊ ÍÏÝÎÏÓÔÅÊ ÍÎÏÖÅÓÔ×
A É B.
   úÁÍÅÞÁÎÉÑ. 1. þÔÏÂÙ ÉÚÂÅÖÁÔØ ÕÐÏÍÉÎÁÎÉÑ ÍÏÝÎÏÓÔÅÊ ËÁË ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØ-
ÎÙÈ ÏÂßÅËÔÏ×, ÓÌÅÄÕÅÔ ÓÞÉÔÁÔØ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á C ÅÓÔØ ÓÕÍ-
ÍÁ ÍÏÝÎÏÓÔÅÊ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÉÄÉÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅÍ (Á ÓËÁÚÁÎÎÏÅ
×ÙÛÅ ¡ ÅÇÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ). îÏ ÍÙ ÄÌÑ ÕÄÏÂÓÔ×Á ÂÕÄÅÍ ÞÁÓÔÏ ÐÒÅÎÅÂÒÅÇÁÔØ
ÔÁËÉÍÉ ÐÒÅÄÏÓÔÏÒÏÖÎÏÓÔÑÍÉ.
   2. ÷ ÐÒÉÎÃÉÐÅ ÓÌÅÄÏ×ÁÌÏ ÂÙ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É
ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A0 ∪ B 0 ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÔÏÇÏ, ËÁËÉÅ ÉÍÅÎÎÏ
ÎÅÐÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A0 É B 0 (ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙÅ A É B) ÍÙ ×ÙÂÅÒÅÍ.
(þÔÏ, ×ÐÒÏÞÅÍ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ.)
   3. äÌÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÏÂÙÞÎÏÅ ÓÌÏÖÅÎÉÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ
ÞÉÓÅÌ.

Страницы