Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§8. ïÐÅÒÁÃÉÉ ÎÁÄ ÍÏÝÎÏÓÔÑÍÉ 37
ÓÔÏÌØ ÖÅ ÐÒÏÓÔÏ. þÕÔØ ÓÌÏÖÎÅÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á, ×ËÌÀÞÁÀÝÉÅ ×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÅ × ÓÔÅ-
ÐÅÎØ:
a
b+c
= a
b
× a
c
; (ab)
c
= a
c
× b
c
; (a
b
)
c
= a
b×c
.
ðÒÏ×ÅÒÉÍ ÐÅÒ×ÏÅ ÉÚ ÎÉÈ. éÚ ÞÅÇÏ ÓÏÓÔÏÉÔ A
B+C
? (âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ B
É C ÎÅ ÐÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ.) åÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÉ ÓÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ
× A, ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÙÅ ÎÁ B + C. ôÁËÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ Ä×ÕÈ ÞÁÓÔÅÊ: Ó×ÏÅÇÏ
ÓÕÖÅÎÉÑ ÎÁ B (ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÁ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁÈ ÉÚ B ÏÓÔÁÀÔÓÑ ÔÅÍÉ ÖÅ, ÏÓÔÁÌØÎÙÅ
ÏÔÂÒÁÓÙ×ÁÀÔÓÑ) É Ó×ÏÅÇÏ ÓÕÖÅÎÉÑ ÎÁ C. ôÅÍ ÓÁÍÙÍ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A
B+C
ÍÙ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÐÁÒÕ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ A
B
É A
C
. üÔÏ É ÂÕÄÅÔ
ÉÓËÏÍÏÅ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ.
ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅÍ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ (A×B)
C
É A
C
×B
C
ÍÙ ÔÏÖÅ ÞÁÓÔÏ
ÓÔÁÌËÉ×ÁÅÍÓÑ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á (R × R)
R
ÅÓÔØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
ÔÉÐÁ R → R × R, ÔÏ ÅÓÔØ ËÒÉ×ÁÑ t 7→ z(t) = hx(t), y(t)i ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ. ôÁËÁÑ
ËÒÉ×ÁÑ ÚÁÄÁ¾ÔÓÑ ÐÁÒÏÊ ÆÕÎËÃÉÊ x, y : R → R.
óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ (A
B
)
C
É A
(B×C)
×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÅÖÅ. üÌÅ-
ÍÅÎÔ f ∈ A
(B×C)
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ B × C → A, ÔÏ ÅÓÔØ, × ÏÂÙÞÎÏÊ
ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÉ, ÆÕÎËÃÉÅÊ Ä×ÕÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ× (ÐÅÒ×ÙÊ ÉÚ B, ×ÔÏÒÏÊ ÉÚ C). åÓÌÉ
ÚÁÆÉËÓÉÒÏ×ÁÔØ × ÎÅÊ ×ÔÏÒÏÊ ÁÒÇÕÍÅÎÔ, ÔÏ ÐÏÌÕÞÉÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÑ f
c
: B → A,
ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÁÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ f
c
(b) = f(b, c) (ÔÏÞÎÅÅ, f(hb, ci)). ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
7→ f
c
, ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÅÅ (A
B
)
C
, É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÜÌÅÍÅÎÔÕ f ∈ A
(B×C)
. (ïÔ-
ÞÁÓÔÉ ÓÈÏÄÎÁÑ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÑ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ × ÁÌÇÅÂÒÅ, ËÏÇÄÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÔ Ä×ÕÈ
ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔ ËÁË ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÔ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ Ó ËÏÜÆÆÉ-
ÃÉÅÎÔÁÍÉ × ËÏÌØÃÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÔ ×ÔÏÒÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ.)
íÏÝÎÏÓÔØ ÓÞ¾ÔÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÓÉÍ×ÏÌÉÞÅÓËÉ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ℵ
0
, ÍÏÝÎÏÓÔØ
ËÏÎÔÉÎÕÕÍÁ (ÏÔÒÅÚËÁ ÉÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÕ-
ÌÅÊ É ÅÄÉÎÉÃ) ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ c. ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, c = 2
ℵ
0
.
(åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ×ÏÐÒÏÓ: ËÁËÏ× ÓÍÙÓÌ ÉÎÄÅËÓÁ 0 × ℵ
0
? ÞÔÏ ÔÁËÏÅ, ÓËÁ-
ÖÅÍ, ℵ
1
? ïÂÙÞÎÏ ℵ
1
ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÕÀ ÎÅÓÞ¾ÔÎÕÀ ÍÏÝÎÏÓÔØ (ËÁË ÍÙ
Õ×ÉÄÉÍ, ÔÁËÁÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ). çÉÐÏÔÅÚÁ ËÏÎÔÉÎÕÕÍÁ, Ï ËÏÔÏÒÏÊ ÍÙ ÕÐÏÍÉÎÁÌÉ
ÎÁ Ó. 29, ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ c = ℵ
1
.)
éÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÎÁÍ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÓÞ¾ÔÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ ÔÁË:
• ℵ
0
+ n = ℵ
0
ÄÌÑ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ n (ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÓÞ¾ÔÎÏÇÏ É ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏ-
ÖÅÓÔ× ÓÞ¾ÔÎÏ);
• ℵ
0
+ ℵ
0
= ℵ
0
(ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÓÞ¾ÔÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÓÞ¾ÔÎÏ);
• ℵ
0
×ℵ
0
= ℵ
0
(ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÓÞ¾ÔÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÓÞ¾ÔÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÓÞ¾ÔÎÏ).
ïÔÓÀÄÁ ÍÏÖÎÏ ÆÏÒÍÁÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÉÔØ ÍÎÏÇÉÅ ÆÁËÔÙ ÍÁÎÉÐÕÌÑÃÉÑÍÉ Ó
ÍÏÝÎÏÓÔÑÍÉ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÃÅÐÏÞËÁ ÒÁ×ÅÎÓÔ×
c × c = 2
ℵ
0
× 2
ℵ
0
= 2
ℵ
0
+ℵ
0
= 2
ℵ
0
= c
§8. ïÐÅÒÁÃÉÉ ÎÁÄ ÍÏÝÎÏÓÔÑÍÉ                                               37

ÓÔÏÌØ ÖÅ ÐÒÏÓÔÏ. þÕÔØ ÓÌÏÖÎÅÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á, ×ËÌÀÞÁÀÝÉÅ ×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÅ × ÓÔÅ-
ÐÅÎØ:
             ab+c = ab × ac ; (ab)c = ac × bc ; (ab)c = ab×c .
    ðÒÏ×ÅÒÉÍ ÐÅÒ×ÏÅ ÉÚ ÎÉÈ. éÚ ÞÅÇÏ ÓÏÓÔÏÉÔ AB+C ? (âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ B
É C ÎÅ ÐÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ.) åÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÉ ÓÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ
× A, ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÙÅ ÎÁ B + C. ôÁËÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ Ä×ÕÈ ÞÁÓÔÅÊ: Ó×ÏÅÇÏ
ÓÕÖÅÎÉÑ ÎÁ B (ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÁ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁÈ ÉÚ B ÏÓÔÁÀÔÓÑ ÔÅÍÉ ÖÅ, ÏÓÔÁÌØÎÙÅ
ÏÔÂÒÁÓÙ×ÁÀÔÓÑ) É Ó×ÏÅÇÏ ÓÕÖÅÎÉÑ ÎÁ C. ôÅÍ ÓÁÍÙÍ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á AB+C ÍÙ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÐÁÒÕ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ AB É AC . üÔÏ É ÂÕÄÅÔ
ÉÓËÏÍÏÅ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ.
    ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅÍ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ (A×B)C É AC ×B C ÍÙ ÔÏÖÅ ÞÁÓÔÏ
ÓÔÁÌËÉ×ÁÅÍÓÑ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á (R × R)R ÅÓÔØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
ÔÉÐÁ R → R × R, ÔÏ ÅÓÔØ ËÒÉ×ÁÑ t 7→ z(t) = hx(t), y(t)i ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ. ôÁËÁÑ
ËÒÉ×ÁÑ ÚÁÄÁ¾ÔÓÑ ÐÁÒÏÊ ÆÕÎËÃÉÊ x, y : R → R.
    óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ (AB )C É A(B×C) ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÅÖÅ. üÌÅ-
ÍÅÎÔ f ∈ A(B×C) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ B × C → A, ÔÏ ÅÓÔØ, × ÏÂÙÞÎÏÊ
ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÉ, ÆÕÎËÃÉÅÊ Ä×ÕÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ× (ÐÅÒ×ÙÊ ÉÚ B, ×ÔÏÒÏÊ ÉÚ C). åÓÌÉ
ÚÁÆÉËÓÉÒÏ×ÁÔØ × ÎÅÊ ×ÔÏÒÏÊ ÁÒÇÕÍÅÎÔ, ÔÏ ÐÏÌÕÞÉÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÑ fc : B → A,
ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÁÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ fc (b) = f (b, c) (ÔÏÞÎÅÅ, f (hb, ci)). ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
  7→ fc , ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÅÅ (AB )C , É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÜÌÅÍÅÎÔÕ f ∈ A(B×C) . (ïÔ-
ÞÁÓÔÉ ÓÈÏÄÎÁÑ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÑ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ × ÁÌÇÅÂÒÅ, ËÏÇÄÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÔ Ä×ÕÈ
ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔ ËÁË ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÔ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ Ó ËÏÜÆÆÉ-
ÃÉÅÎÔÁÍÉ × ËÏÌØÃÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÔ ×ÔÏÒÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ.)
    íÏÝÎÏÓÔØ ÓÞ¾ÔÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÓÉÍ×ÏÌÉÞÅÓËÉ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ℵ0 , ÍÏÝÎÏÓÔØ
ËÏÎÔÉÎÕÕÍÁ (ÏÔÒÅÚËÁ ÉÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÕ-
ÌÅÊ É ÅÄÉÎÉÃ) ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ c. ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, c = 2ℵ0 .
    (åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ×ÏÐÒÏÓ: ËÁËÏ× ÓÍÙÓÌ ÉÎÄÅËÓÁ 0 × ℵ0? ÞÔÏ ÔÁËÏÅ, ÓËÁ-
ÖÅÍ, ℵ1 ? ïÂÙÞÎÏ ℵ1 ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÕÀ ÎÅÓÞ¾ÔÎÕÀ ÍÏÝÎÏÓÔØ (ËÁË ÍÙ
Õ×ÉÄÉÍ, ÔÁËÁÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ). çÉÐÏÔÅÚÁ ËÏÎÔÉÎÕÕÍÁ, Ï ËÏÔÏÒÏÊ ÍÙ ÕÐÏÍÉÎÁÌÉ
ÎÁ Ó. 29, ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ c = ℵ1 .)
    éÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÎÁÍ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÓÞ¾ÔÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ ÔÁË:
     • ℵ0 + n = ℵ0 ÄÌÑ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ n (ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÓÞ¾ÔÎÏÇÏ É ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏ-
       ÖÅÓÔ× ÓÞ¾ÔÎÏ);
     • ℵ0 + ℵ0 = ℵ0 (ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÓÞ¾ÔÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÓÞ¾ÔÎÏ);
     • ℵ0 × ℵ0 = ℵ0 (ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÓÞ¾ÔÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÓÞ¾ÔÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÓÞ¾ÔÎÏ).
    ïÔÓÀÄÁ ÍÏÖÎÏ ÆÏÒÍÁÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÉÔØ ÍÎÏÇÉÅ ÆÁËÔÙ ÍÁÎÉÐÕÌÑÃÉÑÍÉ Ó
ÍÏÝÎÏÓÔÑÍÉ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÃÅÐÏÞËÁ ÒÁ×ÅÎÓÔ×
                     c × c = 2ℵ0 × 2ℵ0 = 2ℵ0+ℵ0 = 2ℵ0 = c

Страницы