Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

36 çÌÁ×Á I. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÍÏÝÎÏÓÔÉ
4. îÁËÏÎÅÃ, ÆÏÒÍÁÌØÎÏ ÓÌÅÄÏ×ÁÌÏ ÂÙ Åݾ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÔÁËÉÅ A
0
É B
0
ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ. üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÔÁË: ÐÏÌÏÖÉÍ A
0
= A ×{0}
É B
0
= B ×{1}.
ðÏÓÌÅÄÎÅÊ ÐÒÏÂÌÅÍÙ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÐÒÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÍÏÝÎÏÓÔÅÊ
ËÁË ÍÏÝÎÏÓÔÉ ÄÅËÁÒÔÏ×Á ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ A × B. (îÏ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ
ÏÓÔÁÀÔÓÑ × ÓÉÌÅ.)
ôÅÐÅÒØ ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÅ × ÓÔÅÐÅÎØ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ (ÄÌÑ ÄÁÎ-
ÎÙÈ A É B) ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÆÕÎËÃÉÊ ×ÉÄÁ f : B → A (ÎÁÐÏÍÎÉÍ: ÜÔÏ ÏÚÎÁ-
ÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÉÈ ÏÂÌÁÓÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÅÓÔØ B, Á ÏÂÌÁÓÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ
× A). üÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ A
B
, É ÅÇÏ ÍÏÝÎÏÓÔØ É ÂÕÄÅÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ
ÏÐÅÒÁÃÉÉ ×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÑ × ÓÔÅÐÅÎØ.
åÓÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A É B ËÏÎÅÞÎÙ É ÓÏÄÅÒÖÁÔ a É b ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎ-
ÎÏ, ÔÏ A
B
ÓÏÄÅÒÖÉÔ ËÁË ÒÁÚ a
b
ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÏÐÒÅÄÅÌÑÑ ÆÕÎËÃÉÀ
f : B → A, ÍÙ ÄÏÌÖÎÙ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ Å¾ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÉÚ b ÜÌÅÍÅÎÔÏ×.
üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ a ÓÐÏÓÏÂÁÍÉ, ÔÁË ÞÔÏ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ×ÓÅÇÏ a
b
×ÁÒÉÁÎÔÏ×.
úÁÄÁÞÁ 58. þÅÍÕ ÒÁ×ÎÏ 0
0
ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÎÁÛÅÍÕ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ? (ïÔ×ÅÔ:
ÅÄÉÎÉÃÅ.)
ðÒÉÍÅÒ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ 2 ËÁËÏÅ-ÎÉÂÕÄØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÉÚ Ä×ÕÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×,
ÎÁÐÒÉÍÅÒ, {0, 1}. þÔÏ ÔÁËÏÅ 2
N
? ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÜÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÆÕÎËÃÉÊ
f : N → {0, 1}. ôÁËÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ¡ ÜÔÏ ÐÏ ÓÕÝÅÓÔ×Õ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÕÌÅÊ
É ÅÄÉÎÉÃ, ÔÏÌØËÏ ×ÍÅÓÔÏ f
0
f
1
f
2
. . . ÍÙ ÐÉÛÅÍ f(0), f(1), f(2), . . . (æÏÒÍÁÌØÎÏ
ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X ÔÁË É ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ-
ÓÑ ¡ ËÁË ÆÕÎËÃÉÑ ÔÉÐÁ N → X.)
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ 2
X
ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ P (X) (× ÞÁÓÔÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ X = N ÍÙ ÜÔÏ
ÄÏËÁÚÙ×ÁÌÉ; ÄÌÑ ÏÂÝÅÇÏ ÓÌÕÞÁÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÁËÏÅ ÖÅ).
ïÂÙÞÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÓÌÏÖÅÎÉÑ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ (ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔØ, ÁÓÓÏÃÉÁ-
ÔÉ×ÎÏÓÔØ É ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔØ) ÓÏÈÒÁÎÑÀÔ ÓÉÌÕ É ÄÌÑ ÁÒÉÆÍÅÔÉËÉ ÍÏÝÎÏ-
ÓÔÅÊ:
a + b = b + a;
a + (b + c) = (a + b) + c;
a × b = b × a;
a × (b × c) = (a × b) × c;
(a + b) × c = (a × c) + (b × c).
æÏÒÍÁÌØÎÏ ÉÈ ÓÌÅÄÕÅÔ ÞÉÔÁÔØ, ÉÚÂÅÇÁÑ ÓÌÏ×Á ÍÏÝÎÏÓÔØ ËÁË ÓÁÍÏÓÔÏÑ-
ÔÅÌØÎÏÇÏ ÏÂßÅËÔÁ: ÎÁÐÒÉÍÅÒ, a × b = b × a ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ A × B É B × A
ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙ (É ÜÔÏ ÌÅÇËÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ: hx, yi 7→ hy, xi ÂÕÄÅÔ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏ-
ÚÎÁÞÎÙÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅÍ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ). ïÓÔÁÌØÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
36                                            çÌÁ×Á I. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÍÏÝÎÏÓÔÉ

    4. îÁËÏÎÅÃ, ÆÏÒÍÁÌØÎÏ ÓÌÅÄÏ×ÁÌÏ ÂÙ Åݾ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÔÁËÉÅ A0 É B 0
ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ. üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÔÁË: ÐÏÌÏÖÉÍ A0 = A × {0}
É B 0 = B × {1}.
    ðÏÓÌÅÄÎÅÊ ÐÒÏÂÌÅÍÙ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÐÒÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÍÏÝÎÏÓÔÅÊ
ËÁË ÍÏÝÎÏÓÔÉ ÄÅËÁÒÔÏ×Á ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ A × B. (îÏ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ
ÏÓÔÁÀÔÓÑ × ÓÉÌÅ.)
    ôÅÐÅÒØ ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÅ × ÓÔÅÐÅÎØ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ (ÄÌÑ ÄÁÎ-
ÎÙÈ A É B) ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÆÕÎËÃÉÊ ×ÉÄÁ f : B → A (ÎÁÐÏÍÎÉÍ: ÜÔÏ ÏÚÎÁ-
ÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÉÈ ÏÂÌÁÓÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÅÓÔØ B, Á ÏÂÌÁÓÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ
× A). üÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ AB , É ÅÇÏ ÍÏÝÎÏÓÔØ É ÂÕÄÅÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ
ÏÐÅÒÁÃÉÉ ×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÑ × ÓÔÅÐÅÎØ.
    åÓÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A É B ËÏÎÅÞÎÙ É ÓÏÄÅÒÖÁÔ a É b ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎ-
ÎÏ, ÔÏ AB ÓÏÄÅÒÖÉÔ ËÁË ÒÁÚ ab ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÏÐÒÅÄÅÌÑÑ ÆÕÎËÃÉÀ
f : B → A, ÍÙ ÄÏÌÖÎÙ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ Å¾ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÉÚ b ÜÌÅÍÅÎÔÏ×.
üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ a ÓÐÏÓÏÂÁÍÉ, ÔÁË ÞÔÏ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ×ÓÅÇÏ ab ×ÁÒÉÁÎÔÏ×.
   úÁÄÁÞÁ 58. þÅÍÕ ÒÁ×ÎÏ 00 ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÎÁÛÅÍÕ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ? (ïÔ×ÅÔ:
ÅÄÉÎÉÃÅ.)
    ðÒÉÍÅÒ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ 2 ËÁËÏÅ-ÎÉÂÕÄØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÉÚ Ä×ÕÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×,
ÎÁÐÒÉÍÅÒ, {0, 1}. þÔÏ ÔÁËÏÅ 2N ? ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÜÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÆÕÎËÃÉÊ
f : N → {0, 1}. ôÁËÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ¡ ÜÔÏ ÐÏ ÓÕÝÅÓÔ×Õ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÕÌÅÊ
É ÅÄÉÎÉÃ, ÔÏÌØËÏ ×ÍÅÓÔÏ f0 f1f2 . . . ÍÙ ÐÉÛÅÍ f (0), f (1), f (2), . . . (æÏÒÍÁÌØÎÏ
ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X ÔÁË É ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ-
ÓÑ ¡ ËÁË ÆÕÎËÃÉÑ ÔÉÐÁ N → X.)
    úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ 2X ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ P (X) (× ÞÁÓÔÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ X = N ÍÙ ÜÔÏ
ÄÏËÁÚÙ×ÁÌÉ; ÄÌÑ ÏÂÝÅÇÏ ÓÌÕÞÁÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÁËÏÅ ÖÅ).
    ïÂÙÞÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÓÌÏÖÅÎÉÑ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ (ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔØ, ÁÓÓÏÃÉÁ-
ÔÉ×ÎÏÓÔØ É ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔØ) ÓÏÈÒÁÎÑÀÔ ÓÉÌÕ É ÄÌÑ ÁÒÉÆÍÅÔÉËÉ ÍÏÝÎÏ-
ÓÔÅÊ:
                               a + b = b + a;
                         a + (b + c) = (a + b) + c;
                               a × b = b × a;
                         a × (b × c) = (a × b) × c;
                         (a + b) × c = (a × c) + (b × c).
   æÏÒÍÁÌØÎÏ ÉÈ ÓÌÅÄÕÅÔ ÞÉÔÁÔØ, ÉÚÂÅÇÁÑ ÓÌÏ×Á ÍÏÝÎÏÓÔØ ËÁË ÓÁÍÏÓÔÏÑ-
ÔÅÌØÎÏÇÏ ÏÂßÅËÔÁ: ÎÁÐÒÉÍÅÒ, a × b = b × a ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ A × B É B × A
ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙ (É ÜÔÏ ÌÅÇËÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ: hx, yi 7→ hy, xi ÂÕÄÅÔ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏ-
ÚÎÁÞÎÙÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅÍ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ). ïÓÔÁÌØÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ

Страницы