Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

çìá÷á II
õÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á
§1. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ É ÐÏÒÑÄËÁ
îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÂÉÎÁÒÎÙÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å X ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÏÄ-
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R ⊂ X ×X; ×ÍÅÓÔÏ hx
1
, x
2
i ∈ R ÞÁÓÔÏ ÐÉÛÕÔ x
1
Rx
2
.
âÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å X ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÜË×É-
×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ ×ÙÐÏÌÎÅÎÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á:
• (ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔØ) xRx ÄÌÑ ×ÓÅÈ x ∈ X;
• (ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔØ) xRy ⇒ yRx ÄÌÑ ×ÓÅÈ x, y ∈ X;
• (ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔØ) xRy É yRz ⇒ xRz ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× x, y, z ∈ X.
éÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏÅ, ÎÏ ÞÁÓÔÏ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ:
ôÅÏÒÅÍÁ 11. (Á) åÓÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X ÒÁÚÂÉÔÏ × ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÎÅÐÅÒÅÓÅ-
ËÁÀÝÉÈÓÑ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×, ÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÌÅÖÁÔØ × ÏÄÎÏÍ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Å
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ.
(Â) ÷ÓÑËÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÏÐÉÓÁÎÎÙÍ ÓÐÏÓÏ-
ÂÏÍ ÉÚ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÅÒ×ÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÓÏ×ÓÅÍ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ; ÍÙ ÐÒÉ×ÅÄ¾Í ÄÏ-
ËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ×ÔÏÒÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÂÙÌÏ ×ÉÄÎÏ, ÇÄÅ ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔÓÑ ×ÓÅ ÐÕÎËÔÙ
ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. éÔÁË, ÐÕÓÔØ R ¡ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ-
ÓÔÉ. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ x ∈ X ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÇÏ ËÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ-
ÓÔÉ ¡ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ y ∈ X, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ×ÅÒÎÏ xRy.
äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ Ä×ÕÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ x
1
, x
2
ÔÁËÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÌÉÂÏ ÎÅ ÐÅ-
ÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ, ÌÉÂÏ ÓÏ×ÐÁÄÁÀÔ. ðÕÓÔØ ÏÎÉ ÐÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ, ÔÏ ÅÓÔØ ÉÍÅÀÔ ÏÂ-
ÝÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ z. ôÏÇÄÁ x
1
Rz É x
2
Rz, ÏÔËÕÄÁ zRx
2
(ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔØ) É x
1
Rx
2
(ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔØ), Á ÔÁËÖÅ x
2
Rx
1
(ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔØ). ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ z
ÉÚ x
1
Rz ÓÌÅÄÕÅÔ x
2
Rz (ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔØ) É ÎÁÏÂÏÒÏÔ.
ïÓÔÁÌÏÓØ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ × ÓÉÌÕ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔÉ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ x ÐÒÉ-
ÎÁÄÌÅÖÉÔ ÚÁÄÁ×ÁÅÍÏÍÕ ÉÍ ËÌÁÓÓÕ, ÔÏ ÅÓÔØ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ×Ó¾ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X
ÒÁÚÂÉÔÏ ÎÁ ÎÅÐÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ËÌÁÓÓÙ.
úÁÄÁÞÁ 70. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ É ÔÒÁÎÚÉ-
ÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÏÄÎÉÍ: xRz É yRz ⇒ xRy (ÐÒÉ ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÉ
ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔÉ).
úÁÄÁÞÁ 71. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÓÕÝÅ-
ÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å {1, 2, 3, 4, 5}?
40
                           çìá÷á II
             õÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á

  §1. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ É ÐÏÒÑÄËÁ
  îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÂÉÎÁÒÎÙÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å X ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÏÄ-
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R ⊂ X × X; ×ÍÅÓÔÏ hx1 , x2i ∈ R ÞÁÓÔÏ ÐÉÛÕÔ x1Rx2.
  âÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å X ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÜË×É-
×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ ×ÙÐÏÌÎÅÎÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á:
   • (ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔØ) xRx ÄÌÑ ×ÓÅÈ x ∈ X;
   • (ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔØ) xRy ⇒ yRx ÄÌÑ ×ÓÅÈ x, y ∈ X;
   • (ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔØ) xRy É yRz ⇒ xRz ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× x, y, z ∈ X.
éÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏÅ, ÎÏ ÞÁÓÔÏ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ:
  ôÅÏÒÅÍÁ 11. (Á) åÓÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X ÒÁÚÂÉÔÏ × ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÎÅÐÅÒÅÓÅ-
ËÁÀÝÉÈÓÑ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×, ÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÌÅÖÁÔØ × ÏÄÎÏÍ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Å
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ.
  (Â) ÷ÓÑËÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÏÐÉÓÁÎÎÙÍ ÓÐÏÓÏ-
ÂÏÍ ÉÚ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ.
   äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÅÒ×ÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÓÏ×ÓÅÍ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ; ÍÙ ÐÒÉ×ÅÄ¾Í ÄÏ-
ËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ×ÔÏÒÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÂÙÌÏ ×ÉÄÎÏ, ÇÄÅ ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔÓÑ ×ÓÅ ÐÕÎËÔÙ
ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. éÔÁË, ÐÕÓÔØ R ¡ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ-
ÓÔÉ. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ x ∈ X ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÇÏ ËÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ-
ÓÔÉ ¡ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ y ∈ X, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ×ÅÒÎÏ xRy.
   äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ Ä×ÕÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ x1, x2 ÔÁËÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÌÉÂÏ ÎÅ ÐÅ-
ÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ, ÌÉÂÏ ÓÏ×ÐÁÄÁÀÔ. ðÕÓÔØ ÏÎÉ ÐÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ, ÔÏ ÅÓÔØ ÉÍÅÀÔ ÏÂ-
ÝÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ z. ôÏÇÄÁ x1Rz É x2Rz, ÏÔËÕÄÁ zRx2 (ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔØ) É x1 Rx2
(ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔØ), Á ÔÁËÖÅ x2 Rx1 (ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔØ). ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ z
ÉÚ x1Rz ÓÌÅÄÕÅÔ x2Rz (ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔØ) É ÎÁÏÂÏÒÏÔ.
   ïÓÔÁÌÏÓØ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ × ÓÉÌÕ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔÉ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ x ÐÒÉ-
ÎÁÄÌÅÖÉÔ ÚÁÄÁ×ÁÅÍÏÍÕ ÉÍ ËÌÁÓÓÕ, ÔÏ ÅÓÔØ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ×Ó¾ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X
ÒÁÚÂÉÔÏ ÎÁ ÎÅÐÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ËÌÁÓÓÙ.
  úÁÄÁÞÁ 70. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ É ÔÒÁÎÚÉ-
ÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÏÄÎÉÍ: xRz É yRz ⇒ xRy (ÐÒÉ ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÉ
ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔÉ).
  úÁÄÁÞÁ 71. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÓÕÝÅ-
ÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å {1, 2, 3, 4, 5}?
                                    40

Страницы