Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§1. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ É ÐÏÒÑÄÏË 43
y 6 z, y 6= z, ÔÏ x 6 z ÐÏ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ; ÅÓÌÉ ÂÙ ÏËÁÚÁÌÏÓØ, ÞÔÏ x = z,
ÔÏ ÍÙ ÂÙ ÉÍÅÌÉ x 6 y 6 x É ÐÏÔÏÍÕ x = y ÐÏ ÁÎÔÉÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ, ÞÔÏ
ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÀ.)
ôÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ: ÍÙ ÞÉÔÁÅÍ ÚÎÁË 6 ËÁË ÍÅÎØÛÅ ÉÌÉ ÒÁ×ÎÏ,
Á ÚÎÁË < ¡ ËÁË ÍÅÎØÛÅ, ÎÅÑ×ÎÏ ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÑ, ÞÔÏ x 6 y ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ
ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ x < y ÉÌÉ x = y. ë ÓÞÁÓÔØÀ, ÜÔÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÔÁË. åݾ ÏÄÎÏ
ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ: ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ x > y (x ÂÏÌØÛÅ y) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ y < x, Á ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ
x > y (x ÂÏÌØÛÅ ÉÌÉ ÒÁ×ÎÏ y) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ y 6 x.
úÁÄÁÞÁ 73. ïÂßÑÓÎÉÔÅ, ÐÏÞÅÍÕ ÎÅ ÓÔÏÉÔ ÞÉÔÁÔØ x 6 y ËÁË x ÎÅ ÂÏÌØ-
ÛÅ y.
÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ËÎÉÖËÁÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË
ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ <, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ Ä×ÕÍ ÕËÁÚÁÎÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ
ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ x 6 y ⇔ [(x < y) ÉÌÉ (x = y)] Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ
ÐÏÒÑÄËÁ × ÓÍÙÓÌÅ ÎÁÛÅÇÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ.
úÁÄÁÞÁ 74. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ ÜÔÏ.
÷Ï ÉÚÂÅÖÁÎÉÅ ÐÕÔÁÎÉÃÙ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ < ÉÎÏÇÄÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ
ÓÔÒÏÇÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ 6 ¡ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÎÅÓÔÒÏÇÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. ïÄ-
ÎÏ É ÔÏ ÖÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÏÖÎÏ ÚÁÄÁ×ÁÔØ ÐÏ-ÒÁÚÎÏÍÕ:
ÍÏÖÎÏ ÓÎÁÞÁÌÁ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅÓÔÒÏÇÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ 6 (ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÅ,
ÁÎÔÉÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÅ) É ÚÁÔÅÍ ÉÚ ÎÅÇÏ ÐÏÌÕÞÉÔØ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
ÓÔÒÏÇÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ <, Á ÍÏÖÎÏ ÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÔØ É ÎÁÏÂÏÒÏÔ.
úÁÄÁÞÁ 75. ïÐÕÓËÁÑ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÅ ÁÎÔÉÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ × ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÉ
ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÐÒÅÄÐÏÒÑÄËÁ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
ÌÀÂÏÊ ÐÒÅÄÐÏÒÑÄÏË ÕÓÔÒÏÅÎ ÔÁË: ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ÎÅÐÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅ-
ÓÑ ËÌÁÓÓÙ, ÐÒÉ ÜÔÏÍ x 6 y ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× x, y ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ,
Á ÎÁ ÆÁËÔÏÒ-ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÚÁÄÁÎ ÞÁÓÔÉÞÎÙÊ ÐÏÒÑÄÏË, ËÏÔÏÒÙÊ É ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ
ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ ÒÁÚÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ×.
÷ÏÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÊ, ÐÏÚ×ÏÌÑÀÝÉÈ ÓÔÒÏÉÔØ ÏÄÎÉ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÉÚ ÄÒÕÇÉÈ.
• ðÕÓÔØ Y ¡ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á (X, 6).
ôÏÇÄÁ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å Y ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÞÁÓÔÉÞÎÙÊ ÐÏÒÑÄÏË,
ÉÎÄÕÃÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÉÚ X. æÏÒÍÁÌØÎÏ ÇÏ×ÏÒÑ,
(6
Y
) = (6) ∩ (Y × Y ).
åÓÌÉ ÐÏÒÑÄÏË ÎÁ X ÂÙÌ ÌÉÎÅÊÎÙÍ, ÔÏ É ÉÎÄÕÃÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÐÏÒÑÄÏË ÎÁ Y ,
ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÂÕÄÅÔ ÌÉÎÅÊÎÙÍ.
§1. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ É ÐÏÒÑÄÏË                                         43

y 6 z, y 6= z, ÔÏ x 6 z ÐÏ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ; ÅÓÌÉ ÂÙ ÏËÁÚÁÌÏÓØ, ÞÔÏ x = z,
ÔÏ ÍÙ ÂÙ ÉÍÅÌÉ x 6 y 6 x É ÐÏÔÏÍÕ x = y ÐÏ ÁÎÔÉÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ, ÞÔÏ
ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÀ.)
   ôÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ: ÍÙ ÞÉÔÁÅÍ ÚÎÁË 6 ËÁË ÍÅÎØÛÅ ÉÌÉ ÒÁ×ÎÏ,
Á ÚÎÁË < ¡ ËÁË ÍÅÎØÛÅ, ÎÅÑ×ÎÏ ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÑ, ÞÔÏ x 6 y ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ
ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ x < y ÉÌÉ x = y. ë ÓÞÁÓÔØÀ, ÜÔÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÔÁË. åݾ ÏÄÎÏ
ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ: ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ x > y (x ÂÏÌØÛÅ y) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ y < x, Á ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ
x > y (x ÂÏÌØÛÅ ÉÌÉ ÒÁ×ÎÏ y) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ y 6 x.
  úÁÄÁÞÁ 73. ïÂßÑÓÎÉÔÅ, ÐÏÞÅÍÕ ÎÅ ÓÔÏÉÔ ÞÉÔÁÔØ x 6 y ËÁË x ÎÅ ÂÏÌØ-
ÛÅ y.
  ÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ËÎÉÖËÁÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË
ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ <, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ Ä×ÕÍ ÕËÁÚÁÎÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ
ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ x 6 y ⇔ [(x < y) ÉÌÉ (x = y)] Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ
ÐÏÒÑÄËÁ × ÓÍÙÓÌÅ ÎÁÛÅÇÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ.
  úÁÄÁÞÁ 74. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ ÜÔÏ.
   ÷Ï ÉÚÂÅÖÁÎÉÅ ÐÕÔÁÎÉÃÙ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ < ÉÎÏÇÄÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ
ÓÔÒÏÇÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ 6 ¡ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÎÅÓÔÒÏÇÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. ïÄ-
ÎÏ É ÔÏ ÖÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÏÖÎÏ ÚÁÄÁ×ÁÔØ ÐÏ-ÒÁÚÎÏÍÕ:
ÍÏÖÎÏ ÓÎÁÞÁÌÁ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅÓÔÒÏÇÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ 6 (ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÅ,
ÁÎÔÉÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÅ) É ÚÁÔÅÍ ÉÚ ÎÅÇÏ ÐÏÌÕÞÉÔØ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
ÓÔÒÏÇÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ <, Á ÍÏÖÎÏ ÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÔØ É ÎÁÏÂÏÒÏÔ.
   úÁÄÁÞÁ 75. ïÐÕÓËÁÑ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÅ ÁÎÔÉÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ × ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÉ
ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÐÒÅÄÐÏÒÑÄËÁ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
ÌÀÂÏÊ ÐÒÅÄÐÏÒÑÄÏË ÕÓÔÒÏÅÎ ÔÁË: ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ÎÅÐÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅ-
ÓÑ ËÌÁÓÓÙ, ÐÒÉ ÜÔÏÍ x 6 y ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× x, y ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ,
Á ÎÁ ÆÁËÔÏÒ-ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÚÁÄÁÎ ÞÁÓÔÉÞÎÙÊ ÐÏÒÑÄÏË, ËÏÔÏÒÙÊ É ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ
ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ ÒÁÚÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ×.
  ÷ÏÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÊ, ÐÏÚ×ÏÌÑÀÝÉÈ ÓÔÒÏÉÔØ ÏÄÎÉ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÉÚ ÄÒÕÇÉÈ.
   • ðÕÓÔØ Y ¡ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á (X, 6).
     ôÏÇÄÁ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å Y ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÞÁÓÔÉÞÎÙÊ ÐÏÒÑÄÏË,
     ÉÎÄÕÃÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÉÚ X. æÏÒÍÁÌØÎÏ ÇÏ×ÏÒÑ,
                         (6Y ) = (6) ∩ (Y × Y ).
     åÓÌÉ ÐÏÒÑÄÏË ÎÁ X ÂÙÌ ÌÉÎÅÊÎÙÍ, ÔÏ É ÉÎÄÕÃÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÐÏÒÑÄÏË ÎÁ Y ,
     ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÂÕÄÅÔ ÌÉÎÅÊÎÙÍ.

Страницы