Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§1. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ É ÏÐÅÒÁÃÉÉ 59
ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ
(x ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 4) → (x ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 2)
ÉÓÔÉÎÎÏ ÐÒÉ ×ÓÅÈ x. ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ ÓÀÄÁ x = 5: ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÌÏÖÎÙ, Á ÕÔ×ÅÒÖÄÅ-
ÎÉÅ × ÃÅÌÏÍ ÉÓÔÉÎÎÏ. ðÒÉ x = 6 ÐÏÓÙÌËÁ ÉÍÐÌÉËÁÃÉÉ ÌÏÖÎÁ, Á ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ
ÉÓÔÉÎÎÏ, É ×ÓÑ ÉÍÐÌÉËÁÃÉÑ ÉÓÔÉÎÎÁ. îÁËÏÎÅÃ, ÐÒÉ x = 8 ÐÏÓÙÌËÁ É ÚÁËÌÀÞÅ-
ÎÉÅ ÉÓÔÉÎÎÙ É ÉÍÐÌÉËÁÃÉÑ × ÃÅÌÏÍ ÉÓÔÉÎÎÁ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÏÂÒÁÔÎÏÅ
ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ (ÅÓÌÉ x ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 2, ÔÏ x ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 4) ÎÅ×ÅÒÎÏ, É ÞÉÓÌÏ 2
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎÔÒÐÒÉÍÅÒÏÍ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÐÏÓÙÌËÁ ÉÍÐÌÉËÁÃÉÉ ÉÓÔÉÎÎÁ, ÚÁËÌÀÞÅ-
ÎÉÅ ÌÏÖÎÏ, É ÓÁÍÁ ÉÍÐÌÉËÁÃÉÑ ÌÏÖÎÁ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÅÓÌÉ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ
ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÉÍÐÌÉËÁÃÉÉ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØÀ ž ÞÁÓÔÅÊ (Á ÎÅ ÎÁÌÉ-
ÞÉÅÍ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ ËÁËÉÈ-ÔÏ ÐÒÉÞÉÎÎÏ-ÓÌÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÈ Ó×ÑÚÅÊ), ÔÏ ×ÓÅ ÓÔÒÏËÉ
ÔÁÂÌÉÃÙ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÙ. þÔÏÂÙ ÐÏÄÞÅÒËÎÕÔØ ÔÁËÏÅ ÕÚËÏ-ÆÏÒÍÁÌØ-
ÎÏÅ ÐÏÎÉÍÁÎÉÅ ÉÍÐÌÉËÁÃÉÉ, ÆÉÌÏÓÏÆÓËÉ ÎÁÓÔÒÏÅÎÎÙÅ ÌÏÇÉËÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ Å¾
¥ÍÁÔÅÒÉÁÌØÎÏÊ ÉÍÐÌÉËÁÃÉÅÊ¥.
ôÅÐÅÒØ ÏÔ ÎÅÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÒÁÚÇÏ×ÏÒÏ× ÐÅÒÅÊÄ¾Í Ë ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑÍ. üÌÅÍÅÎ-
ÔÁÒÎÙÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ (ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÅ) ÍÙ ÂÕÄÅÍ
ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÍÁÌÅÎØËÉÍÉ ÌÁÔÉÎÓËÉÍÉ ÂÕË×ÁÍÉ É ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÐÒÏÐÏÚÉÃÉÏÎÁÌØ-
ÎÙÍÉ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ. éÚ ÎÉÈ ÓÔÒÏÑÔÓÑ ÐÒÏÐÏÚÉÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÐÏ ÔÁËÉÍ
ÐÒÁ×ÉÌÁÍ:
• ÷ÓÑËÁÑ ÐÒÏÐÏÚÉÃÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÁÑ ÅÓÔØ ÆÏÒÍÕÌÁ.
• åÓÌÉ A ¡ ÐÒÏÐÏÚÉÃÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ, ÔÏ ¬A ¡ ÐÒÏÐÏÚÉÃÉÏÎÁÌØÎÁÑ
ÆÏÒÍÕÌÁ.
• åÓÌÉ A É B ¡ ÐÒÏÐÏÚÉÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ, ÔÏ (A ∧ B), (A ∨ B) É
(A → B) ¡ ÐÒÏÐÏÚÉÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ.
íÏÖÎÏ Åݾ ÓËÁÚÁÔØ ÔÁË: ÆÏÒÍÕÌÙ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï,
ÏÂÌÁÄÁÀÝÅÅ ÕËÁÚÁÎÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ (ÓÌÏ×Ï ¥ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ¥ ÚÄÅÓØ ÓÕÝÅ-
ÓÔ×ÅÎÎÏ: ×ÅÄØ ÅÓÌÉ ÂÙ ÍÙ ÏÂßÑ×ÉÌÉ ÌÀÂÕÀ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ,
ÓËÏÂÏË É Ó×ÑÚÏË ÆÏÒÍÕÌÏÊ, ÔÏ ÜÔÉ ÔÒÉ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÂÙÌÉ ÂÙ ÔÏÖÅ ×ÙÐÏÌÎÅÎÙ).
ðÕÓÔØ ÆÏÒÍÕÌÁ ϕ ÓÏÄÅÒÖÉÔ n ÐÒÏÐÏÚÉÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ p
1
, p
2
, . . . ,
p
n
. åÓÌÉ ÐÏÄÓÔÁ×ÉÔØ ×ÍÅÓÔÏ ÜÔÉÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ (é
ÉÌÉ ì), ÔÏ ÐÏ ÔÁÂÌÉÃÁÍ ÍÏÖÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ
× ÃÅÌÏÍ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÆÏÒÍÕÌÁ ÚÁÄÁ¾Ô ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ ÏÔ n ÁÒÇÕ-
ÍÅÎÔÏ×, ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÏÖÅÔ ÐÒÉÎÉÍÁÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ì É é. úÎÁÞÅÎÉÑ
ÆÕÎËÃÉÉ ÔÁËÖÅ ÌÅÖÁÔ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å {ì, é}, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ B.
íÙ ÂÕÄÅÍ ÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÕÖÅ ÕÐÏÍÉÎÁ×ÛÅÊÓÑ ÔÒÁÄÉÃÉÉ É ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÔØ é Ó
ÅÄÉÎÉÃÅÊ, Á ì ¡ Ó ÎÕ̾Í, ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ B ÅÓÔØ {0, 1}. æÏÒÍÕÌÁ ϕ ÚÁÄÁ¾Ô ÏÔÏ-
ÂÒÁÖÅÎÉÅ ÔÉÐÁ B
n
→ B. ôÁËÉÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÁËÖÅ ÂÕÌÅ×ÙÍÉ
ÆÕÎËÃÉÑÍÉ n ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×.
§1. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ É ÏÐÅÒÁÃÉÉ                                              59

ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ
                   (x ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 4) → (x ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 2)
ÉÓÔÉÎÎÏ ÐÒÉ ×ÓÅÈ x. ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ ÓÀÄÁ x = 5: ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÌÏÖÎÙ, Á ÕÔ×ÅÒÖÄÅ-
ÎÉÅ × ÃÅÌÏÍ ÉÓÔÉÎÎÏ. ðÒÉ x = 6 ÐÏÓÙÌËÁ ÉÍÐÌÉËÁÃÉÉ ÌÏÖÎÁ, Á ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ
ÉÓÔÉÎÎÏ, É ×ÓÑ ÉÍÐÌÉËÁÃÉÑ ÉÓÔÉÎÎÁ. îÁËÏÎÅÃ, ÐÒÉ x = 8 ÐÏÓÙÌËÁ É ÚÁËÌÀÞÅ-
ÎÉÅ ÉÓÔÉÎÎÙ É ÉÍÐÌÉËÁÃÉÑ × ÃÅÌÏÍ ÉÓÔÉÎÎÁ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÏÂÒÁÔÎÏÅ
ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ (ÅÓÌÉ x ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 2, ÔÏ x ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 4) ÎÅ×ÅÒÎÏ, É ÞÉÓÌÏ 2
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎÔÒÐÒÉÍÅÒÏÍ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÐÏÓÙÌËÁ ÉÍÐÌÉËÁÃÉÉ ÉÓÔÉÎÎÁ, ÚÁËÌÀÞÅ-
ÎÉÅ ÌÏÖÎÏ, É ÓÁÍÁ ÉÍÐÌÉËÁÃÉÑ ÌÏÖÎÁ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÅÓÌÉ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ
ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÉÍÐÌÉËÁÃÉÉ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØÀ ž ÞÁÓÔÅÊ (Á ÎÅ ÎÁÌÉ-
ÞÉÅÍ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ ËÁËÉÈ-ÔÏ ÐÒÉÞÉÎÎÏ-ÓÌÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÈ Ó×ÑÚÅÊ), ÔÏ ×ÓÅ ÓÔÒÏËÉ
ÔÁÂÌÉÃÙ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÙ. þÔÏÂÙ ÐÏÄÞÅÒËÎÕÔØ ÔÁËÏÅ ÕÚËÏ-ÆÏÒÍÁÌØ-
ÎÏÅ ÐÏÎÉÍÁÎÉÅ ÉÍÐÌÉËÁÃÉÉ, ÆÉÌÏÓÏÆÓËÉ ÎÁÓÔÒÏÅÎÎÙÅ ÌÏÇÉËÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ Å¾
¥ÍÁÔÅÒÉÁÌØÎÏÊ ÉÍÐÌÉËÁÃÉÅÊ¥.
   ôÅÐÅÒØ ÏÔ ÎÅÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÒÁÚÇÏ×ÏÒÏ× ÐÅÒÅÊÄ¾Í Ë ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑÍ. üÌÅÍÅÎ-
ÔÁÒÎÙÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ (ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÅ) ÍÙ ÂÕÄÅÍ
ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÍÁÌÅÎØËÉÍÉ ÌÁÔÉÎÓËÉÍÉ ÂÕË×ÁÍÉ É ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÐÒÏÐÏÚÉÃÉÏÎÁÌØ-
ÎÙÍÉ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ. éÚ ÎÉÈ ÓÔÒÏÑÔÓÑ ÐÒÏÐÏÚÉÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÐÏ ÔÁËÉÍ
ÐÒÁ×ÉÌÁÍ:
   • ÷ÓÑËÁÑ ÐÒÏÐÏÚÉÃÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÁÑ ÅÓÔØ ÆÏÒÍÕÌÁ.
   • åÓÌÉ A ¡ ÐÒÏÐÏÚÉÃÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ, ÔÏ ¬A ¡ ÐÒÏÐÏÚÉÃÉÏÎÁÌØÎÁÑ
     ÆÏÒÍÕÌÁ.
   • åÓÌÉ A É B ¡ ÐÒÏÐÏÚÉÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ, ÔÏ (A ∧ B), (A ∨ B) É
     (A → B) ¡ ÐÒÏÐÏÚÉÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ.
    íÏÖÎÏ Åݾ ÓËÁÚÁÔØ ÔÁË: ÆÏÒÍÕÌÙ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï,
ÏÂÌÁÄÁÀÝÅÅ ÕËÁÚÁÎÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ (ÓÌÏ×Ï ¥ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ¥ ÚÄÅÓØ ÓÕÝÅ-
ÓÔ×ÅÎÎÏ: ×ÅÄØ ÅÓÌÉ ÂÙ ÍÙ ÏÂßÑ×ÉÌÉ ÌÀÂÕÀ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ,
ÓËÏÂÏË É Ó×ÑÚÏË ÆÏÒÍÕÌÏÊ, ÔÏ ÜÔÉ ÔÒÉ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÂÙÌÉ ÂÙ ÔÏÖÅ ×ÙÐÏÌÎÅÎÙ).
    ðÕÓÔØ ÆÏÒÍÕÌÁ ϕ ÓÏÄÅÒÖÉÔ n ÐÒÏÐÏÚÉÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ p1 , p2, . . . ,
pn . åÓÌÉ ÐÏÄÓÔÁ×ÉÔØ ×ÍÅÓÔÏ ÜÔÉÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ (é
ÉÌÉ ì), ÔÏ ÐÏ ÔÁÂÌÉÃÁÍ ÍÏÖÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ
× ÃÅÌÏÍ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÆÏÒÍÕÌÁ ÚÁÄÁ¾Ô ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ ÏÔ n ÁÒÇÕ-
ÍÅÎÔÏ×, ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÏÖÅÔ ÐÒÉÎÉÍÁÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ì É é. úÎÁÞÅÎÉÑ
ÆÕÎËÃÉÉ ÔÁËÖÅ ÌÅÖÁÔ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å {ì, é}, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ B.
íÙ ÂÕÄÅÍ ÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÕÖÅ ÕÐÏÍÉÎÁ×ÛÅÊÓÑ ÔÒÁÄÉÃÉÉ É ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÔØ é Ó
ÅÄÉÎÉÃÅÊ, Á ì ¡ Ó ÎÕ̾Í, ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ B ÅÓÔØ {0, 1}. æÏÒÍÕÌÁ ϕ ÚÁÄÁ¾Ô ÏÔÏ-
ÂÒÁÖÅÎÉÅ ÔÉÐÁ Bn → B. ôÁËÉÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÁËÖÅ ÂÕÌÅ×ÙÍÉ
ÆÕÎËÃÉÑÍÉ n ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×.

Страницы