Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

çìá÷á V
ñÚÙËÉ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
ðÏÍÉÍÏ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ Ó×ÑÚÏË, × ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑÈ ÞÁÓÔÏ ×ÓÔÒÅ-
ÞÁÀÔÓÑ Ë×ÁÎÔÏÒÙ ¥ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ¥ (∀) É ¥ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ¥ (∃). îÁÐÒÉÍÅÒ, ÏÐÒÅ-
ÄÅÌÅÎÉÅ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ ÓÌÏ×ÁÍÉ ¥ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ
ε ÎÁÊľÔÓÑ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ δ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ . . . ¥. á ÏÄÎÁ ÉÚ ÁËÓÉÏÍ ÔÅÏÒÉÉ
ÇÒÕÐÐ (ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ) ÚÁÐÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁË: ∀x∃y((xy =
= 1) ∧ (yx = 1)).
íÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÚÁËÏÎÙ, ×ËÌÀÞÁÀÝÉÅ ×
ÓÅÂÑ Ë×ÁÎÔÏÒÙ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ¥ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ x, ÞÔÏ A¥ (ÇÄÅ
A ¡ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÏÂßÅËÔÁ x) ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÀ
¥ÎÅ ÄÌÑ ×ÓÅÈ x ×ÅÒÎÏ ¬A¥.
íÙ ÂÕÄÅÍ ÚÁÐÉÓÙ×ÁÔØ ÔÁËÏÇÏ ÒÏÄÁ ÚÁËÏÎÙ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÆÏÒÍÕÌ, ÄÁÄÉÍ
ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÆÏÒÍÕÌ (ÐÒÉ ÄÁÎÎÏÊ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÉ ×ÈÏÄÑÝÉÈ ×
ÎÉÈ ÓÉÍ×ÏÌÏ×) É ÉÓÓÌÅÄÕÅÍ, ËÁËÏÇÏ ÒÏÄÁ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÍÏÖÎÏ ×ÙÒÁÖÁÔØ Ó ÐÏÍÏ-
ÝØÀ ÆÏÒÍÕÌ É ËÁËÉÅ ÎÅÌØÚÑ.
§1. æÏÒÍÕÌÙ É ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÉ
îÁÞÎ¾Í Ó ÐÒÉÍÅÒÁ. ðÕÓÔØ M ¡ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÎÅÐÕÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, Á R ¡
ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ ξÍ, ÔÏ ÅÓÔØ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÅËÁÒÔÏ×Á ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ
M × M. ÷ÍÅÓÔÏ hx, yi ∈ R ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÐÉÓÁÔØ R(x, y). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÏÒÍÕÌÕ
∀x ∃y R(x, y).
üÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ×ÙÒÁÖÁÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÂÉÎÁÒÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R (ÄÌÑ
ÌÀÂÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ x ∈ M ÎÁÊľÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔ, ÎÁÈÏÄÑÝÉÊÓÑ Ó ÎÉÍ × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ
R) É ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÓÔÉÎÎÁ ÉÌÉ ÌÏÖÎÁ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ M ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ N, Á R ¡ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ¥ÓÔÒÏÇÏ ÍÅÎØÛÅ¥ (ÄÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×Á-
ÍÉ, R ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÐÁÒ hx, yi, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ x < y), ÔÏ ÜÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ
ÉÓÔÉÎÎÁ. á ÄÌÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ¥ÓÔÒÏÇÏ ÂÏÌØÛÅ¥ (ÎÁ ÔÏÍ ÖÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å) ÜÔÁ
ÆÏÒÍÕÌÁ ÌÏÖÎÁ.
÷ÏÐÒÏÓ Ï ÔÏÍ, ÂÕÄÅÔ ÌÉ ÉÓÔÉÎÎÁ ÆÏÒÍÕÌÁ
∃y R(x, y)
ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á M É ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÂÉÎÁÒÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R ÎÁ ξÍ, ÎÅ
ÉÍÅÅÔ ÓÍÙÓÌÁ, ÐÏËÁ ÎÅ ÕÔÏÞÎÅÎÏ, ËÁËÏ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x. îÁÐÒÉÍÅÒ,
ÅÓÌÉ M = N É R(x, y) ÅÓÔØ x > y, ÔÏ ÜÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ÂÕÄÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÊ ÐÒÉ x = 3
99
                            çìá÷á V
                ñÚÙËÉ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ

   ðÏÍÉÍÏ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ Ó×ÑÚÏË, × ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑÈ ÞÁÓÔÏ ×ÓÔÒÅ-
ÞÁÀÔÓÑ Ë×ÁÎÔÏÒÙ ¥ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ¥ (∀) É ¥ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ¥ (∃). îÁÐÒÉÍÅÒ, ÏÐÒÅ-
ÄÅÌÅÎÉÅ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ ÓÌÏ×ÁÍÉ ¥ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ
ε ÎÁÊľÔÓÑ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ δ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ . . . ¥. á ÏÄÎÁ ÉÚ ÁËÓÉÏÍ ÔÅÏÒÉÉ
ÇÒÕÐÐ (ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ) ÚÁÐÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁË: ∀x∃y((xy =
= 1) ∧ (yx = 1)).
   íÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÚÁËÏÎÙ, ×ËÌÀÞÁÀÝÉÅ ×
ÓÅÂÑ Ë×ÁÎÔÏÒÙ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ¥ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ x, ÞÔÏ A¥ (ÇÄÅ
A ¡ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÏÂßÅËÔÁ x) ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÀ
¥ÎÅ ÄÌÑ ×ÓÅÈ x ×ÅÒÎÏ ¬A¥.
   íÙ ÂÕÄÅÍ ÚÁÐÉÓÙ×ÁÔØ ÔÁËÏÇÏ ÒÏÄÁ ÚÁËÏÎÙ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÆÏÒÍÕÌ, ÄÁÄÉÍ
ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÆÏÒÍÕÌ (ÐÒÉ ÄÁÎÎÏÊ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÉ ×ÈÏÄÑÝÉÈ ×
ÎÉÈ ÓÉÍ×ÏÌÏ×) É ÉÓÓÌÅÄÕÅÍ, ËÁËÏÇÏ ÒÏÄÁ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÍÏÖÎÏ ×ÙÒÁÖÁÔØ Ó ÐÏÍÏ-
ÝØÀ ÆÏÒÍÕÌ É ËÁËÉÅ ÎÅÌØÚÑ.

  §1. æÏÒÍÕÌÙ É ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÉ
  îÁÞÎ¾Í Ó ÐÒÉÍÅÒÁ. ðÕÓÔØ M ¡ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÎÅÐÕÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, Á R ¡
ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ ξÍ, ÔÏ ÅÓÔØ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÅËÁÒÔÏ×Á ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ
M × M. ÷ÍÅÓÔÏ hx, yi ∈ R ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÐÉÓÁÔØ R(x, y). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÏÒÍÕÌÕ
                              ∀x ∃y R(x, y).
üÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ×ÙÒÁÖÁÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÂÉÎÁÒÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R (ÄÌÑ
ÌÀÂÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ x ∈ M ÎÁÊľÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔ, ÎÁÈÏÄÑÝÉÊÓÑ Ó ÎÉÍ × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ
R) É ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÓÔÉÎÎÁ ÉÌÉ ÌÏÖÎÁ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ M ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ N, Á R ¡ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ¥ÓÔÒÏÇÏ ÍÅÎØÛÅ¥ (ÄÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×Á-
ÍÉ, R ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÐÁÒ hx, yi, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ x < y), ÔÏ ÜÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ
ÉÓÔÉÎÎÁ. á ÄÌÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ¥ÓÔÒÏÇÏ ÂÏÌØÛÅ¥ (ÎÁ ÔÏÍ ÖÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å) ÜÔÁ
ÆÏÒÍÕÌÁ ÌÏÖÎÁ.
  ÷ÏÐÒÏÓ Ï ÔÏÍ, ÂÕÄÅÔ ÌÉ ÉÓÔÉÎÎÁ ÆÏÒÍÕÌÁ
                               ∃y R(x, y)
ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á M É ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÂÉÎÁÒÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R ÎÁ ξÍ, ÎÅ
ÉÍÅÅÔ ÓÍÙÓÌÁ, ÐÏËÁ ÎÅ ÕÔÏÞÎÅÎÏ, ËÁËÏ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x. îÁÐÒÉÍÅÒ,
ÅÓÌÉ M = N É R(x, y) ÅÓÔØ x > y, ÔÏ ÜÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ÂÕÄÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÊ ÐÒÉ x = 3
                                    99

Страницы