Сборник задач по высшей математике. Часть II. Пределы. Производные. Графики функций. Самохин А.В - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

78 çÌÁ×Á III. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ïÂÒÁÔÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÎÅ×ÅÒÎÏ. æÕÎËÃÉÑ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÅ-
ÐÒÅÒÙ×ÎÏÊ × ÔÏÞËÅ, ÎÏ ÎÅ ÂÙÔØ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÏÊ, ÔÏ ÅÓÔØ ÎÅ ÉÍÅÔØ ÐÒÏ-
ÉÚ×ÏÄÎÏÊ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ. ðÒÉÍÅÒÏÍ ÔÁËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÑ y = |x|,
ËÏÔÏÒÁÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ × ÔÏÞËÅ x = 0, ÎÏ ÎÅ ÉÍÅÅÔ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ,
ÔÏ ÅÓÔØ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÏÊ.
åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ y = f(x) ÉÍÅÅÔ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÎÅËÏÔÏÒÏ-
ÇÏ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÁ (ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÁ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÜÔÏÇÏ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÁ), ÔÏ
ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ y = f(x) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÁ ÎÁ ÕËÁÚÁÎÎÏÍ ÐÒÏ-
ÍÅÖÕÔËÅ.
äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏÍ dx ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x ÎÁÚÏ×¾Í ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅ 4x
ÜÔÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ: dx = 4x.
ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ y = f(x) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÁ × ÔÏÞËÅ x
0
, ÔÏ ÅÓÔØ Å¾ ÐÒÉÒÁ-
ÝÅÎÉÅ 4y × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ Ä×ÕÈ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ:
4y = A 4 x + α(4x) 4 x,
ÇÄÅ A ¡ ÞÉÓÌÏ É lim
4x→0
α(4x) = 0. ÷ÙÒÁÖÅÎÉÅ A 4 x ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎ-
ÃÉÁÌÏÍ ÆÕÎËÃÉÑ y = f(x) × ÔÏÞËÅ x
0
É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ dy:
dy = A 4 x.
õÞÉÔÙ×ÁÑ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÍÅÖÄÕ ÐÏÎÑÔÉÑÍÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÏÓÔÉ É ÓÕÝÅÓÔ×Ï-
×ÁÎÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÞËÅ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ A = f
0
(x
0
). ôÁËÉÍ ÏÂÒÁ-
ÚÏÍ, ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ dy ÆÕÎËÃÉÉ y = f(x) × ÔÏÞËÅ x
0
ÚÁÐÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ
dy = d(f(x
0
)) = f
0
(x
0
)dx.
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÐÏÓÌÅÄÎÅÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ f
0
(x
0
) ÍÏÖÎÏ
×ÙÞÉÓÌÉÔØ ËÁË ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁ ÆÕÎËÃÉÉ dy Ë ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÕ
ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ, ÔÏ ÅÓÔØ
f
0
(x
0
) =
dy
dx
.
78                             çÌÁ×Á III. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ

   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ïÂÒÁÔÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÎÅ×ÅÒÎÏ. æÕÎËÃÉÑ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÅ-
ÐÒÅÒÙ×ÎÏÊ × ÔÏÞËÅ, ÎÏ ÎÅ ÂÙÔØ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÏÊ, ÔÏ ÅÓÔØ ÎÅ ÉÍÅÔØ ÐÒÏ-
ÉÚ×ÏÄÎÏÊ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ. ðÒÉÍÅÒÏÍ ÔÁËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÑ y = |x|,
ËÏÔÏÒÁÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ × ÔÏÞËÅ x = 0, ÎÏ ÎÅ ÉÍÅÅÔ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ,
ÔÏ ÅÓÔØ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÏÊ.




   åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ y = f (x) ÉÍÅÅÔ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÎÅËÏÔÏÒÏ-
ÇÏ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÁ (ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÁ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÜÔÏÇÏ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÁ), ÔÏ
ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ y = f (x) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÁ ÎÁ ÕËÁÚÁÎÎÏÍ ÐÒÏ-
ÍÅÖÕÔËÅ.
   äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏÍ dx ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x ÎÁÚÏ×¾Í ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅ 4x
ÜÔÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ: dx = 4x.
   ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ y = f (x) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÁ × ÔÏÞËÅ x0, ÔÏ ÅÓÔØ Å¾ ÐÒÉÒÁ-
ÝÅÎÉÅ 4y × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ Ä×ÕÈ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ:
                        4y = A 4 x + α(4x) 4 x,
ÇÄÅ A ¡ ÞÉÓÌÏ É lim α(4x) = 0. ÷ÙÒÁÖÅÎÉÅ A 4 x ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎ-
                 4x→0
ÃÉÁÌÏÍ ÆÕÎËÃÉÑ y = f (x) × ÔÏÞËÅ x0 É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ dy:
                               dy = A 4 x.
õÞÉÔÙ×ÁÑ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÍÅÖÄÕ ÐÏÎÑÔÉÑÍÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÏÓÔÉ É ÓÕÝÅÓÔ×Ï-
×ÁÎÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÞËÅ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ A = f 0 (x0). ôÁËÉÍ ÏÂÒÁ-
ÚÏÍ, ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ dy ÆÕÎËÃÉÉ y = f (x) × ÔÏÞËÅ x0 ÚÁÐÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ
                        dy = d(f (x0)) = f 0(x0)dx.
   úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÐÏÓÌÅÄÎÅÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ f 0 (x0) ÍÏÖÎÏ
×ÙÞÉÓÌÉÔØ ËÁË ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁ ÆÕÎËÃÉÉ dy Ë ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÕ
ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ, ÔÏ ÅÓÔØ
                                        dy
                              f 0(x0) =    .
                                        dx

Страницы