Сборник задач по высшей математике. Часть II. Пределы. Производные. Графики функций. Самохин А.В - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§8. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ ÆÕÎËÃÉÉ 79
äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÞËÅ x
0
ÉÍÅÅÔ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ. ðÕÓÔØ
ÔÏÞËÁ M ÎÁ ÇÒÁÆÉËÅ ÆÕÎËÃÉÉ y = f(x) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÀ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ
x
0
, ÔÏÞËÁ P ¡ ÚÎÁÞÅÎÉÀ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ x
0
+ 4x, ÐÒÑÍÁÑ MS ¡ ËÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ
Ë ÇÒÁÆÉËÕ y = f(x) × ÔÏÞËÅ M, α ¡ ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ É ÏÓØÀ Ox.
ðÕÓÔØ, MN k Ox, P N k Oy, Q ¡ ÔÏÞËÁ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ MS Ó
ÐÒÑÍÏÊ P N. ôÏÇÄÁ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ 4y ÒÁ×ÎÏ ×ÅÌÉÞÉÎÅ ÏÔÒÅÚËÁ NP .
÷ ÔÏ ÖÅ ×ÒÅÍÑ ÉÚ ÐÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ MNQ ÐÏÌÕÞÁÅÍ: NQ =
= 4x tg α = f
0
(x
0
) 4 x = dy, ÔÏ ÅÓÔØ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ ÆÕÎËÃÉÉ dy ÒÁ×ÅÎ
×ÅÌÉÞÉÎÅ ÏÔÒÅÚËÁ NQ. íÙ ÐÏÌÕÞÉÌÉ, ÞÔÏ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÏÔÒÅÚËÏ× NP É NQ
ÒÁÚÌÉÞÎÙ.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ dy ÆÕÎËÃÉÉ y = f (x) × ÔÏÞËÅ x
0
ÒÁ×ÅÎ
ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÀ ¤ÏÒÄÉÎÁÔÙ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ¥ MS Ë ÇÒÁÆÉËÕ ÜÔÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÞËÅ
M(x
0
; f (x
0
)), Á ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ 4y ÅÓÔØ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅ ¤ÏÒÄÉÎÁÔÙ ÓÁÍÏÊ
ÆÕÎËÃÉÉ¥ y = f(x) × ÔÏÞËÅ x
0
, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÀ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ,
ÒÁ×ÎÏÍÕ 4x.
8.2. ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁ
ðÒÁ×ÉÌÁ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÊ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙ ÐÒÁ×ÉÌÁÍ ÎÁÈÏÖÄÅ-
ÎÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ. äÌÑ ÆÕÎËÃÉÊ u, v É f ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù Ó×ÏÊÓÔ×Á:
d(u + v) = du + dv; d(u − v) = du − dv;
d(uv) = udv + vdu; d
u
v
=
vdu − udv
v
2
, v 6= 0;
d(f(x)) = f
0
(x)dx, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ c ¡ ÞÉÓÌÏ, ÔÏ
d(cx) = c dx, d(x + c) = dx.
ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ ÆÕÎËÃÉÉ y(x) = x
2
.
§8. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ ÆÕÎËÃÉÉ                                             79

    äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÞËÅ x0 ÉÍÅÅÔ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ. ðÕÓÔØ
ÔÏÞËÁ M ÎÁ ÇÒÁÆÉËÅ ÆÕÎËÃÉÉ y = f (x) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÀ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ
x0 , ÔÏÞËÁ P ¡ ÚÎÁÞÅÎÉÀ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ x0 + 4x, ÐÒÑÍÁÑ M S ¡ ËÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ
Ë ÇÒÁÆÉËÕ y = f (x) × ÔÏÞËÅ M , α ¡ ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ É ÏÓØÀ Ox.
ðÕÓÔØ, M N k Ox, P N k Oy, Q ¡ ÔÏÞËÁ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ M S Ó
ÐÒÑÍÏÊ P N . ôÏÇÄÁ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ 4y ÒÁ×ÎÏ ×ÅÌÉÞÉÎÅ ÏÔÒÅÚËÁ N P .
÷ ÔÏ ÖÅ ×ÒÅÍÑ ÉÚ ÐÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ M N Q ÐÏÌÕÞÁÅÍ: N Q =
= 4x tg α = f 0 (x0) 4 x = dy, ÔÏ ÅÓÔØ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ ÆÕÎËÃÉÉ dy ÒÁ×ÅÎ
×ÅÌÉÞÉÎÅ ÏÔÒÅÚËÁ N Q. íÙ ÐÏÌÕÞÉÌÉ, ÞÔÏ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÏÔÒÅÚËÏ× N P É N Q
ÒÁÚÌÉÞÎÙ.
    ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ dy ÆÕÎËÃÉÉ y = f (x) × ÔÏÞËÅ x0 ÒÁ×ÅÎ
ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÀ ¤ÏÒÄÉÎÁÔÙ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ¥ M S Ë ÇÒÁÆÉËÕ ÜÔÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÞËÅ
M (x0 ; f (x0)), Á ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ 4y ÅÓÔØ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅ ¤ÏÒÄÉÎÁÔÙ ÓÁÍÏÊ
ÆÕÎËÃÉÉ¥ y = f (x) × ÔÏÞËÅ x0, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÀ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ,
ÒÁ×ÎÏÍÕ 4x.




8.2. ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁ

  ðÒÁ×ÉÌÁ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÊ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙ ÐÒÁ×ÉÌÁÍ ÎÁÈÏÖÄÅ-
ÎÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ. äÌÑ ÆÕÎËÃÉÊ u, v É f ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù Ó×ÏÊÓÔ×Á:
 d(u + v) = du + dv;               d(u − v) = du − dv;
                                      u  vdu − udv
 d(uv) = udv + vdu;                d      =            , v=
                                                          6 0;
                                       v        v2
 d(f (x)) = f 0(x)dx, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ c ¡ ÞÉÓÌÏ, ÔÏ
 d(cx) = c dx,                    d(x + c) = dx.
  ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ ÆÕÎËÃÉÉ y(x) = x2.

Страницы