Сборник задач по высшей математике. Часть II. Пределы. Производные. Графики функций. Самохин А.В - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§8. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ ÆÕÎËÃÉÉ 77
498. y = ln arctg
√
1 + x
2
;
499. y =
5
q
ln sin
x+3
4
;
500. y = e
√
1+ln x
;
501. y =
5
p
arctg e
5x
;
502. y =
√
1 − arccos
2
x;
503. y = arctg
x −
√
1 + x
2
;
504. y =
2
√
3
arctg
2x+1
√
3
;
505. y =
√
3
arctg
x
√
3
+ ln
x−
√
3
x+
√
3
;
506. y = 2 ln(x
2
+ 5) −
√
5 arctg
x
√
5
;
507. y = x arctg x −
1
2
ln(1 + x
2
);
508. y =
2
3
p
(1 + ln x)
3
;
509. y = ln
x sin x ·
√
1 −x
2
;
510. y = x
1
x
;
511. y = x
sin x
;
512. y = (tg x)
sin x
;
513. y = (cos x)
sin x
.
§8. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ ÆÕÎËÃÉÉ
8.1. ðÏÎÑÔÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁ
æÕÎËÃÉÑ y = f(x) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÏÊ × ÔÏÞËÅ x
0
, ÅÓÌÉ Å¾
ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅ 4y × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ
4y = A 4 x + α(4x) 4 x,
ÇÄÅ A ¡ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÎÅÚÁ×ÉÓÑÝÅÅ ÏÔ 4x, Á α(4x) ¡ ÆÕÎËÃÉÑ ÁÒÇÕÍÅÎ-
ÔÁ 4x, Ñ×ÌÑÀÝÁÑÓÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÁÌÏÊ ÐÒÉ 4x → 0, ÔÏ ÅÓÔØ lim
4x→0
α(4x) = 0.
óÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÍÅÖÄÕ ÐÏÎÑÔÉÑÍÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÏÓÔÉ ÆÕÎË-
ÃÉÉ × ÔÏÞËÅ, ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ É ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÓÔØÀ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÊ
ÖÅ ÔÏÞËÅ.
äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÆÕÎËÃÉÑ y = f (x) ÂÙÌÁ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÁ × ÔÏÞËÅ x
0
,
ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÏÎÁ ÉÍÅÌÁ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÐÒÏÉÚ-
×ÏÄÎÕÀ.
åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ y = f(x) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÁ × ÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ x
0
, ÔÏ ÏÎÁ É
ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ.
§8. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ ÆÕÎËÃÉÉ                                           77
                     √
   498. y = ln
            q  arctg   1 + x2 ;
   499. y = 5 ln sin x+3
                      4 ;
                √
  500.   y
         = ep    1+ln x
                   ;
  501.   = arctg e5x ;
         y  5
            √
  502.   y
         = 1 − arccos    2
                       √ x;
  503.
                              
         = arctg x − 1 + x2 ;
         y
  504.   = √23 arctg 2x+1
         y            √ ;
                       3
            √  
                        x
                                √ 
                             x−√3
  505. y = 3 arctg 3 + ln x+ 3 ;
                       √
                           √
  506. y = 2 ln(x2 + 5) − 5 arctg √x5 ;
  507.   y   = x arctg x − 21 ln(1 + x2);
  508.       = 32 (1 + ln x)3;
                 p
         y
                              √
  509.
                                    
         y   = ln x sin x · 1 − x2 ;
                 1
  510.   y   = xx ;
  511.   y   = xsin x ;
  512.   y   = (tg x)sin x ;
  513.   y   = (cos x)sin x .


§8. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ ÆÕÎËÃÉÉ
8.1. ðÏÎÑÔÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁ

  æÕÎËÃÉÑ y = f (x) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÏÊ × ÔÏÞËÅ x 0, ÅÓÌÉ Å¾
ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅ 4y × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ
                             4y = A 4 x + α(4x) 4 x,
ÇÄÅ A ¡ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÎÅÚÁ×ÉÓÑÝÅÅ ÏÔ 4x, Á α(4x) ¡ ÆÕÎËÃÉÑ ÁÒÇÕÍÅÎ-
ÔÁ 4x, Ñ×ÌÑÀÝÁÑÓÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÁÌÏÊ ÐÒÉ 4x → 0, ÔÏ ÅÓÔØ lim α(4x) = 0.
                                                       4x→0
   óÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÍÅÖÄÕ ÐÏÎÑÔÉÑÍÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÏÓÔÉ ÆÕÎË-
ÃÉÉ × ÔÏÞËÅ, ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ É ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÓÔØÀ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÊ
ÖÅ ÔÏÞËÅ.
   äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÆÕÎËÃÉÑ y = f (x) ÂÙÌÁ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÁ × ÔÏÞËÅ x 0,
ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÏÎÁ ÉÍÅÌÁ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÐÒÏÉÚ-
×ÏÄÎÕÀ.
   åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ y = f (x) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÁ × ÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ x0, ÔÏ ÏÎÁ É
ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ.

Страницы