Сборник задач по высшей математике. Часть II. Пределы. Производные. Графики функций. Самохин А.В - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

çìá÷á I
çÒÁÆÉËÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ
§1. üÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ
1.1. ìÉÎÅÊÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ
ìÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÑ ×ÉÄÁ y = kx + b, ÇÄÅ k É b ¡
ÞÉÓÌÁ. æÕÎËÃÉÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ x.
çÒÁÆÉËÏÍ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÑÍÁÑ. üÔÏÔ ÇÒÁÆÉË ÕÄÏÂÎÏ ÓÔÒÏ-
ÉÔØ ÐÏ Ä×ÕÍ ÔÏÞËÁÍ: ÔÏÞËÅ B Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ x = 0, y = b É ÔÏÞËÅ A Ó
ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ y = 0, x = −
b
k
(ÐÒÉ k 6= 0) (ÓÍ. ÌÅ×ÙÊ ÒÉÓÕÎÏË). üÔÉ ÔÏÞËÉ
Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÞËÁÍÉ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÐÒÑÍÏÊ Ó ÏÓÑÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ.
÷ ÓÌÕÞÁÅ b = 0 ÐÒÑÍÁÑ ÐÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ É ÄÌÑ ÐÏÓÔÒÏ-
ÅÎÉÑ ÇÒÁÆÉËÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ×ÚÑÔØ Åݾ ÏÄÎÕ ÔÏÞËÕ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÔÏÞËÕ C(1; k) (ÓÍ.
ÐÒÁ×ÙÊ ÒÉÓÕÎÏË). ÷ ÓÌÕÞÁÅ k = 0 ÐÒÑÍÁÑ ÐÁÒÁÌÌÅÌØÎÁ ÏÓÉ ÁÂÓÃÉÓÓ.
ëÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ k É b × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ ÐÒÑÍÏÊ ÉÍÅÀÔ ÎÁÇÌÑÄÎÏÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅ-
ÓËÏÅ ÔÏÌËÏ×ÁÎÉÅ. úÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁ b ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÏÔÒÅÚÏË, ÏÔÓÅËÁÅÍÙÊ
ÇÒÁÆÉËÏÍ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÏÓÉ ÏÒÄÉÎÁÔ, Á ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ k Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁÎ-
ÇÅÎÓÏÍ ÕÇÌÁ α, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÏÓØÀ ÁÂÓÃÉÓÓ É ÐÒÑÍÏÊ; ÕÇÏÌ ÏÔÓÞÉÔÙ×ÁÅÔÓÑ
ÏÔ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÏÓÉ ÁÂÓÃÉÓÓ ÐÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ.
õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÑÍÏÊ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ × ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÉÄÁÈ:
y = y
0
+ k(x − x
0
) ¡ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÑÍÏÊ Ó ÚÁÄÁÎÎÙÍ ÕÇÌÏ×ÙÍ ËÏÜÆÆÉÃÉ-
ÅÎÔÏÍ k É ÐÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ M(x
0
; y
0
);
y−y
0
y
1
−y
0
=
x−x
0
x
1
−x
0
¡ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÑÍÏÊ, ÐÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ Ä×Å ÔÏÞËÉ M
1
(x
1
; y
1
),
M
0
(x
0
; y
0
) (ÓÍ. ÌÅ×ÙÊ ÒÉÓÕÎÏË);
x
a
+
y
b
= 1 ¡ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÑÍÏÊ × ÏÔÒÅÚËÁÈ (ÓÍ. ÐÒÁ×ÙÊ ÒÉÓÕÎÏË).
8
                                çìá÷á I
     çÒÁÆÉËÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ

§1. üÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ
1.1. ìÉÎÅÊÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ

   ìÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÑ ×ÉÄÁ y = kx + b, ÇÄÅ k É b ¡
ÞÉÓÌÁ. æÕÎËÃÉÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ x.
   çÒÁÆÉËÏÍ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÑÍÁÑ. üÔÏÔ ÇÒÁÆÉË ÕÄÏÂÎÏ ÓÔÒÏ-
ÉÔØ ÐÏ Ä×ÕÍ ÔÏÞËÁÍ: ÔÏÞËÅ B Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ x = 0, y = b É ÔÏÞËÅ A Ó
ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ y = 0, x = − kb (ÐÒÉ k 6= 0) (ÓÍ. ÌÅ×ÙÊ ÒÉÓÕÎÏË). üÔÉ ÔÏÞËÉ
Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÞËÁÍÉ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÐÒÑÍÏÊ Ó ÏÓÑÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ.




   ÷ ÓÌÕÞÁÅ b = 0 ÐÒÑÍÁÑ ÐÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ É ÄÌÑ ÐÏÓÔÒÏ-
ÅÎÉÑ ÇÒÁÆÉËÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ×ÚÑÔØ Åݾ ÏÄÎÕ ÔÏÞËÕ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÔÏÞËÕ C(1; k) (ÓÍ.
ÐÒÁ×ÙÊ ÒÉÓÕÎÏË). ÷ ÓÌÕÞÁÅ k = 0 ÐÒÑÍÁÑ ÐÁÒÁÌÌÅÌØÎÁ ÏÓÉ ÁÂÓÃÉÓÓ.
   ëÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ k É b × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ ÐÒÑÍÏÊ ÉÍÅÀÔ ÎÁÇÌÑÄÎÏÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅ-
ÓËÏÅ ÔÏÌËÏ×ÁÎÉÅ. úÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁ b ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÏÔÒÅÚÏË, ÏÔÓÅËÁÅÍÙÊ
ÇÒÁÆÉËÏÍ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÏÓÉ ÏÒÄÉÎÁÔ, Á ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ k Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁÎ-
ÇÅÎÓÏÍ ÕÇÌÁ α, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÏÓØÀ ÁÂÓÃÉÓÓ É ÐÒÑÍÏÊ; ÕÇÏÌ ÏÔÓÞÉÔÙ×ÁÅÔÓÑ
ÏÔ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÏÓÉ ÁÂÓÃÉÓÓ ÐÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ.
   õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÑÍÏÊ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ × ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÉÄÁÈ:
   y = y0 + k(x − x0 ) ¡ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÑÍÏÊ Ó ÚÁÄÁÎÎÙÍ ÕÇÌÏ×ÙÍ ËÏÜÆÆÉÃÉ-
ÅÎÔÏÍ k É ÐÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ M (x0 ; y0);
   y−y0     x−x0
   y1 −y0 = x1 −x0 ¡ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÑÍÏÊ, ÐÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ Ä×Å ÔÏÞËÉ M 1 (x1 ; y1 ),
M0 (x0; y0) (ÓÍ. ÌÅ×ÙÊ ÒÉÓÕÎÏË);
   x     y
   a + b = 1 ¡ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÑÍÏÊ × ÏÔÒÅÚËÁÈ (ÓÍ. ÐÒÁ×ÙÊ ÒÉÓÕÎÏË).
                                       8

Страницы