Обработка результатов измерения при проведении физического эксперимента. Савельева А.И - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Погрешности косвенных измерений 21
Второй случай. Пусть измеряемая величина является суммой (или
разностью) двух величин z = x ± y. Средние квадратические погрешно-
сти обозначим ∆x, ∆y и ∆z. Предположим, что величины x и y неза-
висимы, т.е. результат измерения y не зависит от результата измерения
x. Этот случай имеет место, например, когда ∆x и ∆y — случайные
погрешности. Тогда
(∆z)
2
= (∆x)
2
+ (∆y )
2
, ∆z =
p
(∆x)
2
+ (∆y )
2
(20)
т.е. складываются не сами средние квадратические погрешности, а их
квадраты (дисперсии). Погрешность, вычисленная по (20), меньше, чем
∆x + ∆y. Правило сложения (20) можно пояснить следующим образом:
когда погрешность ∆x положительна, погрешность ∆y может быть как
положительной, так и отрицательной.
Если z является суммой или разностью нескольких независимых ве-
личин x
1
, x
2
, . . . , x
n
, то правило сложения погрешностей будет аналогич-
но (20), т.е.
∆z =
p
(∆x
1
)
2
+ (∆x
2
)
2
+ . . . + (∆x
n
)
2
(21)
Из (21) следует важный вывод о роли каждой из погрешностей в
общей погрешности результата. Пусть z = x
1
+ x
2
— сумма двух ве-
личин, определённых с погрешностями ∆x
1
= 3 и ∆x
2
= 1. Тогда
∆z =
√
3
2
+ 1
2
= 3.16 = 1.05∆x
1
. Иначе говоря, если одна из погрешно-
стей в 3 раза меньше другой, то общая погрешность возрастает за счёт
этой меньшей погрешности всего на 5 %, что обычно играет малую роль.
Этот вывод почти не изменится, если малых погрешностей не одна, а
несколько, например ∆z =
√
3
2
+ 1
2
+ 1
2
+ 1
2
+ 1
2
= 3.6 = 1.2∆x
1
. Это
означает, что если мы хотим повысить точность измерения величины ∆z,
то необходимо в первую очередь стремиться уменьшить ту погрешность,
которая больше. В нашем примере это погрешность величины x
1
.
Приведём общее выражение для вычисления погрешности косвен-
ного измерения. Пусть z = f(x, y, . . .) — функция нескольких независи-
мых переменных x, y, . . . . Тогда
∆z =
s
∂f
∂x
∆x
2
+
∂f
∂y
∆y
2
+ . . . , (22)
где
∂f
∂x
— производная по переменной x, взятая в точке x = x
изм
;
∂f
∂x
—
производная по переменной y, взятая в точке y = y
изм
; (и так по всем
                     Погрешности косвенных измерений                      21


   Второй случай. Пусть измеряемая величина является суммой (или
разностью) двух величин z = x ± y. Средние квадратические погрешно-
сти обозначим ∆x, ∆y и ∆z. Предположим, что величины x и y неза-
висимы, т.е. результат измерения y не зависит от результата измерения
x. Этот случай имеет место, например, когда ∆x и ∆y — случайные
погрешности. Тогда
                                          p
            (∆z)2 = (∆x)2 + (∆y)2 , ∆z = (∆x)2 + (∆y)2           (20)

т.е. складываются не сами средние квадратические погрешности, а их
квадраты (дисперсии). Погрешность, вычисленная по (20), меньше, чем
∆x + ∆y. Правило сложения (20) можно пояснить следующим образом:
когда погрешность ∆x положительна, погрешность ∆y может быть как
положительной, так и отрицательной.
    Если z является суммой или разностью нескольких независимых ве-
личин x1 , x2 , . . . , xn , то правило сложения погрешностей будет аналогич-
но (20), т.е.                  p
                        ∆z = (∆x1 )2 + (∆x2 )2 + . . . + (∆xn )2         (21)
   Из (21) следует важный вывод о роли каждой из погрешностей в
общей погрешности результата. Пусть z = x1 + x2 — сумма двух ве-
личин,√ определённых с погрешностями ∆x1 = 3 и ∆x2 = 1. Тогда
∆z = 32 + 12 = 3.16 = 1.05∆x1 . Иначе говоря, если одна из погрешно-
стей в 3 раза меньше другой, то общая погрешность возрастает за счёт
этой меньшей погрешности всего на 5 %, что обычно играет малую роль.
Этот вывод почти не изменится, √     если малых погрешностей не одна, а
несколько, например ∆z = 3 + 12 + 12 + 12 + 12 = 3.6 = 1.2∆x1 . Это
                                  2

означает, что если мы хотим повысить точность измерения величины ∆z,
то необходимо в первую очередь стремиться уменьшить ту погрешность,
которая больше. В нашем примере это погрешность величины x1 .
   Приведём общее выражение для вычисления погрешности косвен-
ного измерения. Пусть z = f (x, y, . . .) — функция нескольких независи-
мых переменных x, y, . . . . Тогда
                        s          2         2
                              ∂f           ∂f
                  ∆z =           ∆x +         ∆y + . . . ,          (22)
                              ∂x           ∂y

где ∂f
    ∂x
       — производная по переменной x, взятая в точке x = xизм ; ∂f
                                                                 ∂x
                                                                    —
производная по переменной y, взятая в точке y = yизм ; (и так по всем

Страницы