Составители:
Рубрика:
Погрешности косвенных измерений 20
B или периметр p = 2(A + B). Если исходные переменные измерены
несколько раз, то в (17) подставляем их средние значения ¯x, ¯y, . . . и
получаем ¯z = f(¯x, ¯y, . . .).
Рассмотрим несколько простых случаев нахождения погрешности кос-
венного измерения.
Первый случай. Пусть z = f(x), т.е. z является функцией одной
переменной. Если результат прямого измерения составляет x = x
изм
±∆x,
то z = f(x
изм
), а погрешность косвенного
∆z = f(x
изм
+ ∆x) − f(x
изм
). (18)
Например, измерив сторону квадрата x = 100 ± 1 мм, определим его
площадь S = x
2
= 10
4
мм
2
и погрешность ∆S = (x
изм
+ ∆x)
2
− x
2
изм
= 101
2
− 100
2
= 200 мм
2
. Результат измерения S = 10000 ± 200 мм
2
.
Обычно погрешность ∆x мала и формулу (18) можно записать через
производную функции f(x), взятую в точке x = x
изм
. (рис. 8)
∆z =
df
dx
∆x (19)
Для площади квадрата получим ∆S =
df
dx
∆x = 2x∆x = 200 мм
2
. Ве-
личина ∆S представляет собой площадь заштрихованной полосы длиной
2x и шириной ∆x (рис. 9).
-
x
6
z
z
изм
x
изм
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
∆z
∆x
@
f(x)
-
∆x
x
x
Рис. 8. Рис. 9.
Отметим один важный случай, когда z = x
m
, где m — любое число.
По формуле 9 на странице 10 получаем ∆z = mx
m−1
и
∆z
z
= m
∆x
x
, т.е. от-
носительная погрешность величины z
m
в m раз больше относительной
погрешности величины x. Например, измерив радиус шара r, опреде-
лим его объём V =
4
3
πr
3
. Относительная погрешность измерения объёма
∆V
V
= 3
∆r
r
в 3 раза больше, чем относительная погрешность радиуса.
Погрешности косвенных измерений 20
B или периметр p = 2(A + B). Если исходные переменные измерены
несколько раз, то в (17) подставляем их средние значения x̄, ȳ, . . . и
получаем z̄ = f (x̄, ȳ, . . .).
Рассмотрим несколько простых случаев нахождения погрешности кос-
венного измерения.
Первый случай. Пусть z = f (x), т.е. z является функцией одной
переменной. Если результат прямого измерения составляет x = xизм ±∆x,
то z = f (xизм ), а погрешность косвенного
∆z = f (xизм + ∆x) − f (xизм ). (18)
Например, измерив сторону квадрата x = 100 ± 1 мм, определим его
площадь S = x2 = 104 мм2 и погрешность ∆S = (xизм + ∆x)2 − x2изм
= 1012 − 1002 = 200 мм2 . Результат измерения S = 10000 ± 200 мм2 .
Обычно погрешность ∆x мала и формулу (18) можно записать через
производную функции f (x), взятую в точке x = xизм . (рис. 8)
df
∆z = ∆x (19)
dx
df
Для площади квадрата получим ∆S = dx ∆x = 2x∆x = 200 мм2 . Ве-
личина ∆S представляет собой площадь заштрихованной полосы длиной
2x и шириной ∆x (рис. 9).
z
6
...
....
....
∆z .
..... @f (x)
... ∆x-
zизм ....
....
....
...
......
.
.......
. x
......
....... ∆x
.........
.............
-x x
xизм
Рис. 8. Рис. 9.
Отметим один важный случай, когда z = xm , где m — любое число.
По формуле 9 на странице 10 получаем ∆z = mxm−1 и ∆z z
= m ∆x
x
, т.е. от-
m
носительная погрешность величины z в m раз больше относительной
погрешности величины x. Например, измерив радиус шара r, опреде-
лим его объём V = 43 πr3 . Относительная погрешность измерения объёма
∆V
V
= 3 ∆r
r
в 3 раза больше, чем относительная погрешность радиуса.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- …
- следующая ›
- последняя »
