Курс лекций по микроэкономике. Савицкая Е.В. - 107 стр.

         MPL
 (6.5)                         =w .
                       MPK       r
     Перепишем его в другой форме:
         MPL                   MPK
 (6.6)                     =             .
                       w             r
     Уравнение (6.6) показывает, что при минимальных издержках каждый дополнительный рубль
затрат на производственные факторы добавляет одинаковое количество выпускаемой продукции.
     Формализация задачи минимизации издержек. Графический анализ весьма иллюстративен.
Однако он не является достаточно корректным способом решения задачи. Поэтому необходимо
провести формальный анализ проблемы для случая с n факторами производства.
     Пусть x1 , x2 ,..., xn − количества используемых производственных факторов, а w1 , w2 ,..., wn − цены

этих факторов, задающиеся рынком. Пусть y − объём выпуска, который желает произвести фирма за
данный период времени, а C − денежные расходы фирмы на покупку факторов производства.
Причём, w1 ,..., wn > 0 и C > 0. Предположим, что технология описывается производственной

функцией f ( x1 ,..., xn ), которая является строго квазивогнутой, непрерывной и дифференцируемой во

всех точках. Для нашей проблемы                        f ( x1 ,..., xn ) = y,   где   y = const.   Причём,   f (0,..., 0) < y.

Предположим, наконец, что наша задача имеет внутреннее, а не угловое решение, т.е. x1 ,..., xn > 0.
     Представленная формально проблема минимизации издержек при заданном уровне выпуска
имеет вид:
          min w1 x1 + ... + wn xn при условии, что
         x1 ,..., xn
 (6.7)
          f ( x1 ,..., xn ) = y.
Это задача на безусловный экстремум, поэтому решим её методом множителей Лагранжа. Выпишем
функцию Лагранжа для данной задачи:

 (6.8)   L = w1 x1 + ... + wn xn − λ ⋅ ( f ( x1 ,..., xn ) − y ) → min

Условием первого порядка минимизации издержек является равенство нулю всех частных
производных функции Лагранжа:
         ∂L             ∂f ( x1 ,..., xn )
             = w1 − λ ⋅                    =0
         ∂x1                  ∂x1
         ∂L             ∂f ( x1 ,..., xn )
             = w2 − λ ⋅                    =0
         ∂x2                  ∂x2

 (6.9)   M
         ∂L             ∂f ( x1 ,..., xn )
             = wn − λ ⋅                    =0
         ∂xn                  ∂xn
         ∂L
            = f ( x1 ,..., xn ) − y = 0
         ∂λ


                                                                                                                         107