Курс лекций по микроэкономике. Савицкая Е.В. - 108 стр.

     Условие 2-го порядка включают в себя и необходимые условия 1-го порядка, а кроме того
нужно рассмотреть гессиан:
                                                  ∂f                    ∂f
                       0                      −                     −     
                                                  ∂x1                   ∂x2
                                                                           
                       ∂f                      ∂2 f                ∂ f 
                                                                      2
            H 2 = det  −                     −λ 2              −λ         <0
(6.10)                 ∂x1                     ∂x1                ∂x1∂x2 
                       ∂f                        ∂2 f              ∂ 2 f 
                      −                   −λ                    −λ 2 
                       ∂x                       ∂x2 ∂x1            ∂x2 
                         2

            H 3 < 0;..., H n +1 < 0.

     Произведя несложные преобразования с первыми двумя уравнениями из системы (6.9),
получаем:
                   ∂f ( x1 , x2 )             ∂f ( x1 , x2 )
(6.11)   1                          ∂x1                        ∂x2
               =                          =
         λ                   w1                      w2
Это означает, что предельная производительность фактора производства в расчёте на 1 ден. единицу,
израсходованную на покупку этого фактора будет одинакова для всех используемых факторов
производства. Другими словами, соотношение предельной выгоды (т.е. возросшего выпуска) к
предельным издержкам должно быть одинаковым для всех факторов производства,
действующих в производственном процессе.
     Легко также видеть, что
            ∂f ( x1 , x2 )
                             ∂x1        w1        MP1 ( x1∗ , x2∗ ) w1
(6.12)                              =      , т.е.                  =
         ∂f ( x1 , x2 )                 w2        MP2 ( x1∗ , x2∗ ) w2
                             ∂x2

                                               w1
(6.13) Значит, MRTS2→1 =                          , что и требовалось доказать.
                                               w2

     Произведя аналогичные преобразования с любыми двумя строками системы (6.9), получаем:
              ∂f
         wi      ∂xi MPi
(6.14)      =         =     = MRTS j →i
         w j ∂f         MPj
                 ∂x j


Функции условного (conditional) спроса на факторы производства. Решив задачу минимизации
издержек мы получим оптимальные количества 1-го и 2-го фактора производства, которые будут
зависеть от цен эти факторов производства и от требуемого объёма выпуска:
         x1∗ = h1 ( w1 ,..., wn , y )
(6.15)
         x2∗ = h2 ( w1 ,..., wn , y )
     Полученные при решении этой задачи оптимальные количества факторов производства
являются функциями, так как они зависят от некоторых переменных. Эти функции называются
                                                                                    108