Курс лекций по микроэкономике. Савицкая Е.В. - 55 стр.

§3. Уравнение Слуцкого.


     Уравнение Евгения Слуцкого (1915 г.) является аналитическим представлением эффекта
замещения и эффекта дохода. Оно позволяет дать более строгое (по сравнению с графическим
анализом) объяснение величины и направления этих эффектов. Предлагаемый здесь вывод уравнения
будет базироваться на принципе двойственности, сформулированном в конце §2 второй главы, и на
лемме Шепарда. Поэтому прежде, чем перейти непосредственно к уравнению Слуцкого, мы
представим один из способов доказательства леммы Шепарда. Этот способ основывается на теореме
об огибающей, которая часто используется в микроэкономическом анализе.


     Теорема об огибающей.


     Рассмотрим проблему минимизации с учётом изменения одного из параметров в ограничении и
целевой функции. Заметим, что полученный здесь результат будет таким же и для задачи
максимизации.
     Пусть целевая функция: g ( x1 , x2 a ) , где a - параметр. И пусть M (a ) - минимальное значение
этой функции.

 (3.11) M (a ) = min
                 X ,X
                      g ( x1 , x2 , a ) при условии, что h( x1 , x2 , a ) = 0.
                         1   2




 (3.12) L = g ( x1 , x2 , a ) − λ ⋅ h( x1 , x2 , a ) → min



                  ∂L ∂g       ∂h
                     =    −λ⋅     =0
                  ∂x1 ∂x1     ∂x1

 (3.13)           ∂L ∂g       ∂h
                     =    −λ⋅     =0
                  ∂x2 ∂x2     ∂x2
                  ∂L
                     = h( x1 , x2 , a ) = 0
                  ∂λ


     Эти условия минимизации первого порядка определяют функции оптимального выбора: x1 ( a )

и x2 ( a ) , которые, в свою очередь, определяют минимальное значение целевой функции:



                                                                                                  55