Курс лекций по микроэкономике. Савицкая Е.В. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

56
(3.14)
)),(),(()(
21
aaxaxgaM ≡
Теорема об огибающей утверждает, что:
a
axxL
a
aM
∂
∂
=
∂
∂
),,(
)(
21
)(axx
ii
=
=
(3.15)
a
axxg
∂
∂
=
),,(
21
)(axx
ii
=
a
axxh
∂
∂
⋅−
),,(
21
λ
)(axx
ii
=
, где
.2,1=i
Здесь интерпретация частных производных нуждается в специальном объяснении: они являются
производными функций
g
и h по параметру a в точке оптимального выбора, то есть берутся
оптимальные значения
1
x
и
2
x
и рассматриваются как фиксированные.
Доказательство.
Продифференцируем тождество
)),(),(()(
21
aaxaxgaM
≡
по a :
(3.16)
a
g
da
dx
x
g
da
dx
x
g
da
dM
∂
∂
+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
=
2
2
1
1
Из условий первого порядка мы получаем, что:
(3.17)
11
x
h
x
g
∂
∂
⋅=
∂
∂
λ
и .
22
x
h
x
g
∂
∂
⋅=
∂
∂
λ
Подставим это в уравнение:
(3.18)
a
g
da
dx
x
h
da
dx
x
h
da
dM
∂
∂
+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
⋅=
)(
2
2
1
1
λ
Очевидно, что функции оптимального выбора должны тождественно удовлетворять условию
связи:
(3.19)
0)),(),((
21
≡aaxaxh
Продифференцировав это тождество по
a , получаем:
(3.20)
0
2
2
1
1
≡
∂
∂
+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
a
h
da
dx
x
h
da
dx
x
h
 (3.14) M (a) ≡ g ( x1 (a), x2 (a), a)


     Теорема об огибающей утверждает, что:


            ∂M (a ) ∂L( x1 , x2 , a )
                   =                                            =
             ∂a          ∂a                     xi = xi (a)
 (3.15)
                ∂g ( x1 , x2 , a )                            ∂h( x1 , x2 , a )
            =                                         −λ⋅                                          , где i = 1,2.
                      ∂a             xi = x i ( a )                ∂a             xi = x i ( a )
Здесь интерпретация частных производных нуждается в специальном объяснении: они являются
производными функций g и h по параметру a в точке оптимального выбора, то есть берутся

оптимальные значения x1 и x2 и рассматриваются как фиксированные.




     Доказательство.


     Продифференцируем тождество M ( a ) ≡ g ( x1 ( a ), x2 ( a ), a ) по a :

            dM ∂g dx1 ∂g dx2 ∂g
 (3.16)       =   ⋅  +   ⋅  +
            da ∂x1 da ∂x2 da ∂a
     Из условий первого порядка мы получаем, что:
            ∂g      ∂h   ∂g     ∂h
 (3.17)         =λ⋅    и    =λ⋅     .
            ∂x1     ∂x1 ∂x2     ∂x2
     Подставим это в уравнение:
            dM       ∂h dx1 ∂h dx2    ∂g
 (3.18)        =λ ⋅(    ⋅  +   ⋅   )+
            da       ∂x1 da ∂x2 da    ∂a
     Очевидно, что функции оптимального выбора должны тождественно удовлетворять условию
связи:

 (3.19) h( x1 (a ), x2 (a ), a ) ≡ 0

     Продифференцировав это тождество по a , получаем:
            ∂h dx1 ∂h dx2 ∂h
 (3.20)        ⋅  +   ⋅  +   ≡0
            ∂x1 da ∂x2 da ∂a



                                                                                                                    56

Страницы