Курс лекций по микроэкономике. Савицкая Е.В. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

58
В §1 второй главы мы решили задачу максимизации полезности при заданном бюджетном
ограничении и получили функции некомпенсированного спроса потребителя на все блага из
товарного набора. Поскольку здесь мы будем рассматривать изменение цены первого блага, то
проанализируем некомпенсированный спрос на него:
(3.28)
11
( ,..., , )
n
x
ppI
В §2 второй главы мы решили задачу минимизации расходов потребителя при заданном уровне
полезности и получили функции компенсированного спроса потребителя. Функция
компенсированного спроса на первое благо:
(3.29)
11
( ,..., , )
n
hp pU
Затем мы вывели функцию расходов потребителя:
(3.30)
1
( ,..., , )
n
E
ppU
и сформулировали принцип двойственности между выше указанными задачами потребительского
выбора. Из этого принципа вытекало несколько важных тождеств, два их которых мы используем
при выводе уравнения Слуцкого:
(3.31)
11
( ,..., , ( ,..., , ))
nn
Ep p Vp p I I≡
(3.32)
11 11 1
( ,..., , ) ( ,..., , ( ,..., , ))
nnn
hp pU xp pEp pU≡
Теперь мы можем продифференцировать уравнение (
3.32) по
1
,
p
помня, что
1
p
дважды включается
в функцию некомпенсированного спроса:
(3.33)
11 11 1
11
11 1 1
1
( ,..., , ) ( ,..., , ( ,..., , ))
( ,..., , ( ,..., , )) ( ,..., , )
nnn
nn n
hp pU xp pEp pU
pp
xppEppUEppU
Ep
∂∂
=+
∂∂
∂∂
+⋅
∂∂
Использовав тождество (
3.31), мы можем переписать уравнение (3.33) следующим образом:
(3.34)
11 11 11 1
11 1
( ,..., , ) ( ,..., , ) ( ,..., , ) ( ,..., , )
nnnn
hp pU xp pI xp pI Ep pU
ppIp
∂∂∂∂
=+⋅
∂∂∂∂
Использовав лемму Шепарда (
3.27) и поменяв местами члены уравнения (3.34), получаем
уравнение Слуцкого:
(3.35)
11 11 11
1
11
( ,..., , ) ( ,..., , ) ( ,..., , )
nn n
xp pI hp pU xp pI
x
ppI
∂∂ ∂
=
−⋅
∂∂∂
Проанализируем его.
Выражение в левой части уравнения Слуцкого
(3.36)
11
1
( ,..., , )
n
x
ppI
p
∂
∂
     В §1 второй главы мы решили задачу максимизации полезности при заданном бюджетном
ограничении и получили функции некомпенсированного спроса потребителя на все блага из
товарного набора. Поскольку здесь мы будем рассматривать изменение цены первого блага, то
проанализируем некомпенсированный спрос на него:

(3.28) x1 ( p1 ,..., pn , I )
В §2 второй главы мы решили задачу минимизации расходов потребителя при заданном уровне
полезности         и     получили            функции           компенсированного             спроса        потребителя.   Функция
компенсированного спроса на первое благо:

(3.29) h1 ( p1 ,..., pn ,U )
Затем мы вывели функцию расходов потребителя:

(3.30) E ( p1 ,..., pn ,U )
и сформулировали принцип двойственности между выше указанными задачами потребительского
выбора. Из этого принципа вытекало несколько важных тождеств, два их которых мы используем
при выводе уравнения Слуцкого:

(3.31) E ( p1 ,..., pn ,V ( p1 ,..., pn , I )) ≡ I

(3.32) h1 ( p1 ,..., pn ,U ) ≡ x1 ( p1 ,..., pn , E ( p1 ,..., pn ,U ))
Теперь мы можем продифференцировать уравнение (3.32) по p1 , помня, что p1 дважды включается

в функцию некомпенсированного спроса:
              ∂h1 ( p1 ,..., pn ,U ) ∂x1 ( p1 ,..., pn , E ( p1 ,..., pn , U ))
                                    =                                           +
                       ∂p1                              ∂p1
(3.33)
                  ∂x1 ( p1 ,..., pn , E ( p1 ,..., pn , U )) ∂E ( p1 ,..., pn , U )
              +                                             ⋅
                                     ∂E                              ∂p1

Использовав тождество (3.31), мы можем переписать уравнение (3.33) следующим образом:
              ∂h1 ( p1 ,..., pn , U ) ∂x1 ( p1 ,..., pn , I ) ∂x1 ( p1 ,..., pn , I ) ∂E ( p1 ,..., pn , U )
(3.34)                               =                       +                       ⋅
                       ∂p1                    ∂p1                      ∂I                     ∂p1

Использовав лемму Шепарда (3.27) и поменяв местами члены уравнения (3.34), получаем
уравнение Слуцкого:
              ∂x1 ( p1 ,..., pn , I ) ∂h1 ( p1 ,..., pn , U ) ∂x1 ( p1 ,..., pn , I )
(3.35)                               =                       −                        ⋅ x1
                      ∂p1                      ∂p1                     ∂I
Проанализируем его.
     Выражение в левой части уравнения Слуцкого
              ∂x1 ( p1 ,..., pn , I )
(3.36)                ∂p1


                                                                                                                               58

Страницы