Курс лекций по микроэкономике. Савицкая Е.В. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

57
(3.21)
a
h
da
dx
x
h
da
dx
x
h
∂
∂
−=⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
⇒
2
2
1
1
Подставляя (3.21) в (3.18) получаем:
(3.22)
a
h
a
g
a
g
a
h
da
dM
∂
∂
⋅−
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
−⋅=
λλ
)( , что и требовалось доказать.
Лемма Шепарда.
Пусть
),,(
2111
Upphx = – компенсированный спрос потребителя на благо 1. Тогда если
функция расходов потребителя
),,(
21
UppE
дифференцируема и 0
1
>p , то
(3.23)
1
21
2111
),,(
),,(
p
UppE
Upphx
∂
∂
==
Доказательство.
Здесь
E
– минимальное значение целевой функции .
2211
xpxpg
⋅
+
⋅
=
Роль параметра a играет
цена первого блага
1
p . Тогда в соответствии с теоремой об огибающей:
(3.24)
1
121
1
21
),,(),,(
p
pxxg
p
UppE
∂
∂
=
∂
∂
)(
1
pxx
ii
=
1
21
),(
p
xxU
∂
∂
⋅−
λ
)(
1
pxx
ii
=
(3.25)
Но 0
),(
1
21
=
∂
∂
p
xxU
, так как функция ограничения не зависит от .
1
p
(3.26)
1
'
2211
1
121
1
)(
),,(
xxpxp
p
pxxg
p
=⋅+⋅=
∂
∂
(3.27)
Следовательно,
1
1
21
),,(
x
p
UppE
=
∂
∂
, где ),,(
2111
Upphx
=
, так как
оптимальное количество каждого блага в задаче минимизации расходов
потребителя при заданном уровне полезности есть значение функции
компенсированного спроса при определённой цене этого блага.
Вывод уравнения Слуцкого. 
                ∂h dx1 ∂h dx2    ∂h
 (3.21) ⇒          ⋅  +   ⋅   =−
                ∂x1 da ∂x2 da    ∂a
     Подставляя (3.21) в (3.18) получаем:

            dM         ∂h ∂g ∂g        ∂h
 (3.22)        = λ ⋅ (− ) +   =   − λ ⋅ , что и требовалось доказать.
            da         ∂a   ∂a ∂a      ∂a


     Лемма Шепарда.


     Пусть x1 = h1 ( p1 , p 2 ,U ) – компенсированный спрос потребителя на благо 1. Тогда если

функция расходов потребителя E ( p1 , p 2 ,U ) дифференцируема и p1 > 0 , то

                                     ∂E ( p1 , p2 ,U )
 (3.23) x1 = h1 ( p1 , p2 ,U ) =
                                           ∂p1
     Доказательство.


Здесь E – минимальное значение целевой функции g = p1 ⋅ x1 + p2 ⋅ x2 . Роль параметра a играет

цена первого блага p1 . Тогда в соответствии с теоремой об огибающей:

            ∂E ( p1 , p 2 ,U ) ∂g ( x1 , x2 , p1 )                           ∂U ( x1 , x2 )
 (3.24)                       =                                        −λ⋅
                  ∂p1                ∂p1              xi = xi ( p1 )            ∂p1             xi = xi ( p1 )


                ∂U ( x1 , x2 )
 (3.25) Но                     = 0 , так как функция ограничения не зависит от p1 .
                   ∂p1


            ∂g ( x1 , x2 , p1 )
 (3.26)                         = ( p1 ⋅ x1 + p2 ⋅ x2 ) 'p = x1
                  ∂p1                                    1




                                ∂E ( p1 , p2 ,U )
           Следовательно,                         = x1 , где x1 = h1 ( p1 , p2 ,U ) , так как
                                      ∂p1
 (3.27) оптимальное количество каждого блага в задаче минимизации расходов
           потребителя при заданном уровне полезности есть значение функции
           компенсированного спроса при определённой цене этого блага.


     Вывод уравнения Слуцкого.



                                                                                                                 57

Страницы