Опорный конспект лекций по микроэкономике. Савицкая Е.В. - 54 стр.

сами не в состоянии повлиять на эту цену. Последнее означает, что цены факторов производства
являются с точки зрения фирмы постоянной, а не переменной величиной.
     Пусть x1 , x2 ,..., xn − количества используемых производственных факторов, а w1 , w2 ,..., wn − цены

этих факторов, задающиеся рынком. Пусть y − объём выпуска, который желает произвести фирма за
данный период времени, а C − денежные расходы фирмы на покупку факторов производства.
Причём, w1 ,..., wn > 0 и C > 0. Предположим, что технология описывается производственной

функцией f ( x1 ,..., xn ), которая является строго квазивогнутой, непрерывной и дифференцируемой во

всех точках. Для нашей проблемы                                          f ( x1 ,..., xn ) = y,   где   y = const.   Причём,   f (0,..., 0) < y.

Предположим, наконец, что наша задача имеет внутреннее, а не угловое решение, т.е. x1 ,..., xn > 0.
     Представленная формально проблема минимизации издержек при заданном уровне выпуска
имеет вид:
          min w1 x1 + ... + wn xn при условии, что
         x1 ,..., xn
 (6.1)
          f ( x1 ,..., xn ) = y.
Это задача на безусловный экстремум, поэтому решим её методом множителей Лагранжа. Выпишем
функцию Лагранжа для данной задачи:

 (6.2)   L = w1 x1 + ... + wn xn − λ ⋅ ( f ( x1 ,..., xn ) − y ) → min

Условием первого порядка минимизации издержек является равенство нулю всех частных
производных функции Лагранжа:
         ∂L             ∂f ( x1 ,..., xn )
             = w1 − λ ⋅                    =0
         ∂x1                  ∂x1
         ∂L             ∂f ( x1 ,..., xn )
             = w2 − λ ⋅                    =0
         ∂x2                  ∂x2

 (6.3)   M
         ∂L             ∂f ( x1 ,..., xn )
             = wn − λ ⋅                    =0
         ∂xn                  ∂xn
         ∂L
            = f ( x1 ,..., xn ) − y = 0
         ∂λ
     Произведя несложные преобразования с первыми двумя уравнениями из системы (6.9),
получаем:
                       ∂f ( x1 , x2 )             ∂f ( x1 , x2 )
 (6.4)    1                             ∂x1                        ∂x2
               =                              =
         λ                    w1                         w2
Это означает, что предельная производительность фактора производства в расчёте на 1 ден. единицу,
израсходованную на покупку этого фактора будет одинакова для всех используемых факторов
производства. Другими словами, соотношение предельной выгоды (т.е. возросшего выпуска) к