Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 125 стр.

Моделирование свободных колебаний в связанных контурах                 125


      d 2 q2 q  q −q
    L2 2 = − 2 − 2 1 .                                                  (4)
       dt    C2  Cсв
Объединим полученные уравнения в систему:
    ⎧ d 2 q1    q1  q2 − q1
    ⎪ dt 2 = − L C + L C ;
    ⎪           1 1   1 св
    ⎨ 2                                                                 (5)
    ⎪ d q2 = − q2 − q2 − q1 .
    ⎪⎩ dt 2    L2C2 L2Cсв
Перепишем систему для случая С1=С2=С и L1=L2=L:
     ⎧ d 2 q1     q1 q 2 − q1
     ⎪ dt 2 = − LC + LC ;
     ⎪                     св
     ⎨ 2                                                              (5*)
     ⎪ d   q      q   q  −  q
              2
                =− 2 − 2 1.
     ⎪⎩ dt  2
                  LC   LC св
       При выводе уравнений мы пренебрегли потерями в цепи, связанными с
наличием активного сопротивления катушек. Форма полученных уравнений (5*)
совпадает с формой уравнений системы (4) в Лабораторной работе № 1.8 для
системы связанных маятников. Отсюда следует, что и общий вид решения
рассматриваемой системы и все основные его особенности могут быть найдены
непосредственно из решений, полученных нами для двух связанных маятников.
Для этого достаточно провести формальную замену:
                         1           1
     ml 2 → L , kd 2 →        , mgl → .                                (6)
                        Cсв          C
В частности, в рассматриваемой цепи должны существовать два типа
нормальных колебаний с частотами
            1
    ω+ =      ,                                                         (7)
           LC
            1⎛1     2 ⎞
    ω− =      ⎜⎜ +     ⎟.                                               (8)
            L ⎝ С Ссв ⎟⎠
Для четной моды колебаний токи в контурах текут в одинаковом направлении,
и на емкости Ссв нет заряда. Иными словами, колебания происходят так, как
если бы отсутствовал участок цепи, содержащий емкость Ссв. Это аналогично
случаю с нерастянутой пружиной в механической задаче, при этом частота
остается такой же, как для связанных осцилляторов. В случае нечетного вида
колебаний токи в обоих связанных контурах все время равны по величине, но
противоположны по направлению. В этом случае на емкости связи имеется
заряд, и частота возрастает.
      Так же как в связанных маятниках, типичная картина колебаний в
связанных контурах имеет вид биений, которые выражены тем отчетливее, чем