Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 33 стр.

Моделирование свободных колебаний                                           33
простейших пружинных маятников
всегда равна смещению тела:
     x = x1 + x2 .




                                                                Рис. 4.




Кроме того, упругие силы Fупр1 = k1 x1 и Fупр2 = k 2 x2 при сделанных выше
предположениях об инерционности пружин должны быть равны:
Fупр1 = Fупр2 = Fупр . Поэтому получаем:
           Fупр x       Fупр x                  k1 + k 2
    x=−             −            = − Fупр x ⋅            ,
            k1           k2                     k1 ⋅ k 2
         k1 ⋅ k 2
где k =           – жесткость эквивалентной пружины, способной заменить две
        k1 + k 2
реальные пружины, соединенные "последовательно". Поэтому собственная
частота системы
                k1 ⋅ k 2
    ωo =                     .
             m ⋅ (k1 + k 2 )
                                                              d2 x
Дифференциальное уравнение движения тела без учета трения: m ⋅ 2 = −k ⋅ x .
                                                              dt
И окончательно:
    d2 x     k +k
         = − 1 2 ⋅x.                                                      (4.1)
    dt 2
            m ⋅ k1 ⋅ k 2
      Анализируя результаты, полученные в задачах 3 и 4, можно увидеть, что
частота колебаний при последовательном соединении пружин меньше, чем при
параллельном их соединении. Смысл этих результатов легко понять: при
параллельном соединении пружин смещение тела на отрезок х приводит к
деформации (на такой же отрезок) обеих пружин. Поэтому сила, развивающаяся
при этом, больше, чем в случае одной пружины, а значит, эквивалентная
жесткость системы больше. При последовательном же соединении деформация
каждой пружины меньше, чем смещение тела, поэтому развивается меньшая
сила, т.е. эквивалентная жесткость уменьшается.