Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 32 стр.

32                                                         Моделирование свободных колебаний
                                                            простейших пружинных маятников
Задача 3. Тело массой т совершает свободные колебания между двумя
пружинами жесткостью k1 и k2, другие концы которых жестко закреплены (рис.
3). Трение отсутствует.




                                                                           Рис. 3.




     Такая система также обладает одной степенью свободы, и деформации
обеих пружин по величине одинаковы ( x1 = x2 = x ). При отклонении тела от
положения равновесия получаем:
      r r        r
    ma = Fупр1 + Fупр2 ;
           d2 x
      m⋅        = −k1 ⋅ x − k 2 ⋅ x = −(k1 + k 2 ) ⋅ x
           dt 2
или
     d2 x    k +k
        2
          = − 1 2 ⋅ x.                                                 (3.1)
     dt        m
Из (3.1) видно, что эквивалентная жесткость таких "параллельно соединенных"
                                                           k +k
пружин равна k = k1 + k 2 , и частота колебаний ωo = 1 2 . Так как
                                                             m
деформации пружин одинаковы, то потенциальная энергия распределяется
между ними пропорционально их жесткости.
      Решая (3.1) методом половинного интервала, получим:
      ⎧⎛ dx ⎞          ⎛ dx ⎞ k1 + k 2           Δt
      ⎪⎜ dt ⎟ ≈ ⎜ dt ⎟ − m xo ⋅ 2 ;
      ⎪⎝ ⎠1 / 2 ⎝ ⎠ o
      ⎪⎛ dx ⎞            ⎛ dx ⎞             k +k
      ⎨⎜ ⎟            ≈⎜ ⎟               − 1 2 xi ⋅ Δt ;                                (3.2)
      ⎪⎝ dt ⎠ i +1 / 2 ⎝ dt ⎠ i −1 / 2        m
      ⎪                ⎛ dx ⎞
      ⎪ xi +1 ≈ xi + ⎜ ⎟               ⋅ Δt .
      ⎩                ⎝ dt ⎠ i +1 / 2

Задача 4. Две пружины жесткостью k1 и k2 соединены между собой
последовательно. Один из концов полученной составной пружины жестко
закреплен, к другому присоединено тело массой т (рис. 4). Трение отсутствует.
      При выведении тела из положения равновесия удлинения пружин х1 и х2
различны. Однако деформации пружин не являются произвольными: их сумма