Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 30 стр.

30                                       Моделирование свободных колебаний
                                          простейших пружинных маятников

     ⎧⎛ d x ⎞            ⎛dx⎞              k        Δt
     ⎪⎜ d t ⎟ ≈ ⎜ d t ⎟ − m ⋅ xo ⋅ 2 ;
     ⎪⎝ ⎠1 / 2 ⎝ ⎠ o
     ⎪⎛ d x ⎞              ⎛dx⎞                   k
     ⎨⎜ ⎟                ≈⎜ ⎟                 − ⋅ xi ⋅ Δt ;             (1.5)
     ⎪⎝  d  t ⎠ i +1 / 2   ⎝ d t   ⎠ i −1 / 2    m
     ⎪                   ⎛dx⎞
     ⎪ xi +1 ≈ xi + ⎜ ⎟                    ⋅ Δt .
     ⎩                   ⎝ d t ⎠ i +1 / 2

      Предположим теперь, что помимо силы упругости на тело действует сила
трения, пропорциональная скорости движения Fmр = f ⋅ υ , где f – коэффициент
трения (сопротивления). Тогда уравнение движения (с учетом того, что сила
трения направлена противоположно скорости) примет вид:
        d2 x                  dx
     m⋅     2
               = −k ⋅ x − f ⋅    ;
         dt                   dt
     d2 x       f dx k                  dx
          =   −   ⋅     −   ⋅ x = −2β ⋅    − ωo ⋅ x ,                 (1.6)
     dt2        m dt m                  dt
где х – смещение тела из положения равновесия в произвольный момент
            dx
времени;         – скорость тела в тот же момент, ωo = k    – собственная
            dt                                            m
циклическая частота колебаний пружинного маятника, β = f    – коэффициент
                                                         2m
затухания. Это уравнение свободных затухающих колебаний, и оно также легко
решается методом половинного интервала.

Задача 2. Тело массой т, подвешенное на пружине жесткостью k, совершает
колебания в вертикальной плоскости (рис. 2).
                                             Случай          вертикального
                                       расположения               пружины
                                       (вертикальный пружинный маятник)
                                       отличается от рассмотренного выше
                                       (горизонтального маятника) только
                                       действием силы тяжести, влияние
                                       которой скажется лишь в том, что
                                       положение                равновесия,
                                       относительно которого происходят
                                       колебания, несколько сместится.
                                             В положении равновесия сила
                                       тяжести, действующая на тело,
                                       уравновешивается
                                              r           силой упругости:
                                                     r
                                             Fупр + mg = 0 .
                Рис. 2.
Поэтому начальное статическое удлинение пружины найдется из условия: