Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 29 стр.

Моделирование свободных колебаний                                           29
простейших пружинных маятников
                       r
системе отсутствует ( Fтр = 0 ), и будем считать, что на тело действует только
                 r r
сила упругости F = F упр . Именно она и сообщает телу ускорение. В проекции на
выбранное направление уравнение движения перепишется в виде:
     ma x = Fx ,                                                          (1.2)
где a x – проекция ускорения на ось Ох, Fx – проекция силы упругости на ту же
ось. Эта проекция прямо пропорциональна смещению тела из положения
равновесия (при данном выборе начала отсчета – его координате), причем
проекция силы и координата имеют противоположные знаки (т.к. сила
упругости всегда противоположна смещению тела): Fx = −kx , где x –
координата тела (смещение). Следовательно, уравнение (1.2) принимает вид:
     ma x = −kx.                                                         (1.3)
Это и есть уравнение движения тела под действием силы упругости.
      Перепишем его в другом виде, выразив проекцию ускорения:
             d2 x  k
        &x& = 2 = − x                                                                     (1.4)
             dt    m
или
        &x& + ωo2 x = 0                                                                (1.4, a)
уравнение свободных незатухающих колебаний пружинного маятника4 –
линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с
постоянными коэффициентами. Величина ωo = k                                  представляет собой
                                                                        m
собственную циклическую частоту колебательной системы.
       Аналитическое решение этого уравнения (математическая модель):
     ⎧ x = xmax sin(ωo ⋅ t + ϕo );
     ⎪                                                                       π
     ⎪
     ⎨υ x = ωo ⋅ xmax ⋅ cos(ωo ⋅ t + ϕo ) = ωo ⋅ xmax ⋅ sin(ωo ⋅ t + ϕo + );                 (*)
     ⎪                                                                       2
     ⎪⎩a x = −ωo2 ⋅ xmax ⋅ sin(ωo ⋅ t + ϕo ) = ωo2 ⋅ xmax ⋅ sin(ωo ⋅ t + ϕo + π).
Эти формулы позволяют найти величины x, υx, ax в любой момент времени.
Они были получены в математическом анализе путем аналитического решения
уравнения (1.4, а). Однако, поскольку движение тела происходит под
действием переменной силы (а, следовательно, не является равноускоренным),
задача эта крайне сложна.
       Для решения (1.4) воспользуемся методом половинного интервала5 и
составим систему уравнений (расчетные формулы):



4
    Сравните с уравнением колебаний математического маятника.
5
    Подробнее см. Введение. Решение дифференциальных уравнений численным методом.