Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 31 стр.

Моделирование свободных колебаний                                                                    31
простейших пружинных маятников
                             mg
      k ⋅ Δl o = mg , откуда Δl o =
                                .
                              k
      Выведем тело из положения равновесия, например, растянув или сжав
пружину (можно также сообщить телу скорость), и отпустим его.
      В отсутствии сопротивления тело будет совершать незатухающие
колебания. Уравнение движения:
       r r        r
     ma = Fупр + mg .
                             d2 x
В проекции на ось: m ⋅            = −k ( x + Δl o ) + mg , откуда
                             dt 2
     d2 x     k
          = −   (x + Δl o ) + g .                                      (2.1)
     dt 2     m
Знак "-" в проекции силы упругости показывает, что направление силы
противоположно смещению тела из положения равновесия, которое
принимается за начало отсчета.
      Если колебания происходят в вязкой среде, то уравнение движения будет
иметь вид:
       r r        r         r     d2 x                     dx
     ma = Fупр + Fсопр + mg ; m ⋅ 2 = −k ( x + Δl o ) − f ⋅ + mg
                                  dt                       dt
и окончательно
     d2 x    k              f dx
        2
          = − ( x + Δl o ) − ⋅ + g .                                    (2.2)
     dt      m              m dt
      В уравнении (2.2) учтено, что сила сопротивления всегда направлена
против скорости движения тела: проекции скорости и силы сопротивления
имеют противоположные знаки.
      Решая (2.2) методом половинного интервала, получим систему уравнений:
     ⎧⎛ dx ⎞             ⎛ dx ⎞ ⎛ k                           f ⎛ dx ⎞          ⎞ Δt
     ⎪⎜ ⎟ ≈ ⎜ ⎟ + ⎜⎜ − ( xo + Δl o ) − ⋅ ⎜ ⎟ + g ⎟⎟ ⋅ ;
     ⎪⎝ dt ⎠1 / 2 ⎝ dt ⎠ o ⎝ m                                m ⎝ dt ⎠ o        ⎠ 2
     ⎪⎪⎛ dx ⎞              ⎛ dx ⎞              ⎛ k                f ⎛ dx ⎞                 ⎞
      ⎨⎜ ⎟               ≈⎜ ⎟               + ⎜⎜ − ( xi + Δl o ) − ⋅ ⎜ ⎟              + g ⎟⎟ ⋅ Δt ; (2.3)
      ⎪ ⎝ d t ⎠ i +1 / 2   ⎝ d t ⎠ i −1 / 2    ⎝  m               m  ⎝ d t ⎠ i −1 / 2      ⎠
      ⎪                  ⎛ dx ⎞
      ⎪ xi +1 ≈ xi + ⎜ ⎟                  ⋅ Δt.
      ⎪⎩                 ⎝ dt ⎠ i +1 / 2
        Для случая, когда сила упругости прямо пропорциональна квадрату
скорости ( Fсопр = fυ 2 ; Fсопр x = − f υ x ⋅ υ x ), уравнение движения тела будет иметь
вид:
        d2 x     k                 f dx dx
             = −   ( x + Δ l o ) −  ⋅  ⋅ +g.                                                       (2.4)
        dt 2     m                 m dt dt