Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 57 стр.

Моделирование механических параметрических колебаний                         57


над положением равновесия на высоте h>hо, т.е. будет обладать избытком
энергии по сравнению с положением 1. Возвращаясь в положение равновесия,
маятник пройдет его со скоростью υ2>υ1 (положение 6, совпадающее
пространственно с положением 2).
      Данную операцию можно совершать дважды за период колебаний
маятника; при этом он будет раскачиваться все сильнее. Так как существует
неизбежное трение, то раскачка будет происходить до тех пор, пока энергия,
сообщаемая маятнику за половину периода, не сравняется с потерями на трение
за это же время.
      Этот      процесс    называют    "параметрическим      резонансом", чем
подчеркивается связь между собственной частотой системы и частотой
"накачки" (сообщения энергии маятнику). Физическая суть процесса
заключается в том, что энергия, сообщаемая маятнику при его подъеме, больше
энергии, теряемой маятником при опускании его на меньшую высоту:
ΔL1 = ΔL ⋅ cos θ . Рассмотрим подробнее энергетику процесса.
      Натяжение нити должно не только уравновешивать направленную вдоль
нити составляющую силы тяжести mg ⋅ cos θ (где θ – угол отклонения нити от
вертикали), но и сообщать телу центростремительное ускорение υ
                                                               2
                                                                       , поэтому
                                                                   L
                                mυ 2
натяжение нити T = mg ⋅ cos θ +      имеет наибольшее значение, когда маятник
                                 L
проходит через каждое из крайних положений (где υ=0, а θ ≠0). Тогда при
втягивании нити в среднем положении внешняя сила будет совершать работу
                    mυ12
    A1 = mg ⋅ ΔL +        ΔL
                      L
бóльшую, чем та отрицательная работа, которая будет совершаться при
выпускании нити в крайних положениях:
                                      ⎛ h⎞
    A2 = − mg ⋅ ΔL ⋅ cos θ = − mg ⋅ ΔL⎜1 − ⎟ .
                                      ⎝ L⎠
    В результате за каждый период колебаний внешняя сила будет совершать
положительную работу, и если эта работа превосходит потери энергии в
системе за период, то энергия колебаний маятника, а значит и амплитуда этих
колебаний, будет возрастать. Увеличение энергии маятника за половину
периода его движения составляет:
                        ΔL ⎛         h ⎞        ΔL
     ΔE = A1 + A2 = 2      Eo ⎜⎜1 +      ⎟⎟ ≅ 3    Eo ,
                         L     ⎝    2 h0 ⎠       L
                       1
так как υ12 = 2 gho , Eo =
                         mυ12 , h ≅ ho .
                       2
      Наличие затухания приводит к уменьшению энергии до величины: