Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 59 стр.

Моделирование механических параметрических колебаний                                               59


причем линейная скорость маятника остается прежней, а угловая изменяется,
ведь движение происходит теперь по дуге меньшей окружности
                            H
        r2 = L − ΔL + .
                             2
         Поэтому вычисление угловой скорости организуется следующим образом:
1) пока маятник движется от одного из крайних положений к равновесному
(или наоборот) по дуге радиусом r 1 или r2 , его угловое смещение (или
координата) и угловая скорость имеют либо противоположные знаки
⎛ ⎛ dθ ⎞                  ⎞                    ⎛ ⎛ dθ ⎞                 ⎞
⎜⎜ ⎜ ⎟          ⋅ θi < 0 ⎟⎟ , либо одинаковые ⎜⎜ ⎜ ⎟          ⋅ θi > 0 ⎟⎟ , а момент инерции не
 ⎝ ⎝ dt ⎠i−1/ 2           ⎠                    ⎝ ⎝ dt ⎠i−1/ 2           ⎠
меняется и угловая скорость рассчитывается по одной из формул
      ⎛ dθ ⎞        ⎛ dθ ⎞         ⎡ mg ⎛        H⎞            f ⎛ dθ ⎞           ⎛    H⎞ ⎤
                                                                                          2

      ⎜ ⎟          ≈⎜ ⎟          + ⎢−     ⋅ ⎜ L + ⎟ sin θ i −      ⋅⎜ ⎟         ⋅ ⎜ L + ⎟ ⎥ ⋅ Δt
      ⎝ dt ⎠ i +1 2 ⎝ dt ⎠ i −1 2 ⎢⎣ J o1 ⎝      2⎠           J o1 ⎝ dt ⎠ i −1 2 ⎝     2 ⎠ ⎥⎦
или
      ⎛ dθ ⎞        ⎛ dθ ⎞         ⎡ mg ⎛             H⎞
      ⎜ ⎟          ≈⎜ ⎟          + ⎢−     ⋅ ⎜ L − ΔL + ⎟ sin θ i −
      ⎝ dt ⎠ i +1 2 ⎝ dt ⎠ i −1 2 ⎢⎣ J o2 ⎝           2⎠

                        f    ⎛ dθ ⎞         ⎛         H⎞
                                                           2
                                                                          ⎤
                    −       ⋅⎜ ⎟          ⋅ ⎜ L − ΔL + ⎟                  ⎥ ⋅ Δt
                             ⎝ dt ⎠ i −1 2 ⎝
                             J o2                     2⎠                  ⎥⎦
(за исключением середины первого интервала);
2) при прохождении положения равновесия (угол меняет знак на
противоположный θi −1 ⋅ θi < 0 ) нить укорачивают, что приводит к изменению
угловой скорости, новое значение которой можно найти из условия, что
линейная скорость при этом остается неизменной:

      (υ x ) i −1 / 2 = (υ x ) i +1 / 2 ; ⎛⎜ dθ ⎞⎟ ⋅ r1 = ⎛⎜ dθ ⎞⎟ ⋅ r2 ;
                                           ⎝ dt ⎠ i −1 / 2 ⎝ dt ⎠ i +1 / 2
      ⎛ dθ ⎞             ⎛ dθ ⎞              r1 ⎛ dθ ⎞           L+H
      ⎜ ⎟              =⎜ ⎟                ⋅ =⎜ ⎟           ⋅                 2    -
      ⎝ dt ⎠ i +1 / 2 ⎝ dt ⎠ i −1 / 2 r2 ⎝ dt ⎠ i −1 / 2 L − ΔL + H
                                                                                 2
(условие записано для случая перехода с дуги бóльшего радиуса на дугу
меньшего радиуса);
3) переход маятника через крайние положения (проекция скорости меняет знак
⎛ dθ ⎞         ⎛ dθ ⎞
⎜ ⎟          ⋅⎜ ⎟            < 0 ) сопровождается удлинением нити (восстановлением ее
⎝ dt ⎠i−3 / 2 ⎝ dt ⎠i−1/ 2
длины), поэтому он полностью аналогичен предыдущему случаю.