Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 58 стр.

58                          Моделирование механических параметрических колебаний


                ⎛ π⎞
    E1 ≅ Eo exp⎜⎜ − ⎟⎟ ,
                ⎝ Q⎠
где Q – добротность системы, а Ео – энергия системы в начале каждого
полупериода. При больших добротностях убыль энергии составляет:
                         π
    ΔEo = Eo − E1 ≅ Eo .
                         Q
      Для раскачки маятника (т.е. для параметрического                                 возбуждения
колебаний) необходимо выполнение неравенства:
                     ΔL π   1
     ΔE > ΔEo , т.е.   >  ≅ .
                      L 3Q Q
              ΔL
Величина μ =      называется глубиной модуляции параметра (в данном
               L
случае длины маятника).
     2. Моделирование параметрического резонанса в ЭТ MS Excel
     Работу можно выполнять на основе модели физического маятника (с
                                     dθ
учетом сопротивления среды Fтр = f ⋅    = f ⋅ ω ), т.к. все расчетные формулы
                                     dt
будут иметь аналогичный вид за небольшим исключением.
     ⎧⎛ dθ ⎞          ⎛ dθ ⎞            ⎡ mg                      f ⎛ dθ ⎞            ⎤ Δt
     ⎪⎜ ⎟ ≈ ⎜ ⎟ + ⎢−                            ⋅ l ⋅ sin θo − ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ l 2 ⎥ ⋅ ;
     ⎪⎝ dt ⎠1 2 ⎝ dt ⎠1 2 ⎣ J o                                  J o ⎝ dt ⎠ o         ⎦ 2
     ⎪                                     ⎡ mg                                           ⎤
     ⎪⎛ dθ ⎞            ⎛ dθ ⎞                                        f ⎛ dθ ⎞
     ⎨⎜ ⎟             ≈⎜ ⎟               + ⎢−       ⋅ l ⋅ sin θi − ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ l 2 ⎥ ⋅ Δt ;              (1)
     ⎪ ⎝  dt ⎠ i +1 2   ⎝ d t  ⎠ i −1 2    ⎣   J o                   J o ⎝ d t ⎠ i −1 2   ⎦
     ⎪                   dθ
     ⎪θi +1 ≈ θi + ⎛⎜ ⎞⎟ ⋅ Δt.
     ⎪⎩                ⎝ dt ⎠i +1 2
       Действительно, мы будем исходить из того, что маятник начинает свое
движение без начальной скорости из крайнего положения, определяемого
начальным углом отклонения нити θо. Центр тяжести маятника при этом
                                                        H
движется по дуге радиусом r1 = L +                           и момент инерции
                                                         2
              1              1                ⎛        H⎞
                                                            2
                                                                   ⎡1 2 1 2 ⎛               H⎞ ⎤
                                                                                                2

      J o1 = mH + mR + m⎜ L + ⎟ = m ⎢ H + R + ⎜ L + ⎟ ⎥ .
                        2               2
                                                                                                     (2)
             12               4               ⎝        2⎠          ⎣⎢12          4        ⎝ 2 ⎠   ⎦⎥
    При прохождении положения равновесия независимо от направления
движения нить укорачивают на ΔL и момент инерции маятника изменяется:
               ⎡1 2 1 2 ⎛          H⎞ ⎤
                                      2

      J o2 = m ⎢ H + R + ⎜ L − ΔL + ⎟ ⎥ ,                                                           (3)
               ⎢⎣12 4    ⎝         2 ⎠ ⎥⎦