Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГОСГИ | Коломна

Составители: 

Рубрика: 

Моделирование механических колебаний систем 73
с двумя степенями свободы
При движении маятников в одной вертикальной плоскости состояние
такой системы полностью описывается двумя независимыми параметрами –
углами θ
1
и θ
2
отклонения маятников от вертикали, т.е. система имеет две
степени свободы.
Уравнение движения для каждого маятника можно получить из общего
уравнения динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси:
M
t
J =
θ
2
2
d
d
. (1.1)
Здесь J – момент инерции тела относительно оси вращения, θ – угол поворота,
М – суммарный момент действующих сил относительно этой же оси.
k
m
1
m
2
d
m
1
g
m
2
g
F
упр1
F
упр2
1 2
Рис. 1.
Так, например, в отсутствии трения на маятник 1 действует момент
вращения
11111
sin θ⋅⋅−= lgmM ,
создаваемый силой тяжести, и момент силы упругости
()
112
2
12
cossinsin θ⋅θ−θ⋅= dkM .
Поэтому уравнение движения маятника 1 будет иметь вид:
()
112
2
111
2
1
2
2
11
cossinsinsin
d
d
θ⋅θ−θ⋅+θ⋅⋅−=
θ
⋅ dkgm
t
m
ll
или
()
112
2
11
2
1
1
2
1
2
cossinsinsin
d
d
θ⋅θ−θ
⋅
+θ⋅−=
θ
ll m
dkg
t
. (1.2)
При выводе уравнения предполагается, что углы отклонения маятника
невелики. Аналогичная формула получается и для маятника 2. Таким образом,
мы получили систему уравнений, каждое из которых можно решить методом
половинного интервала: 
Моделирование механических колебаний систем                                                          73
с двумя степенями свободы
      При движении маятников в одной вертикальной плоскости состояние
такой системы полностью описывается двумя независимыми параметрами –
углами θ1 и θ2 отклонения маятников от вертикали, т.е. система имеет две
степени свободы.
      Уравнение движения для каждого маятника можно получить из общего
уравнения динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси:
       d 2θ
     J 2 =M.                                                          (1.1)
       dt
Здесь J – момент инерции тела относительно оси вращения, θ – угол поворота,
М – суммарный момент действующих сил относительно этой же оси.


                                    k              d
         Fупр1                                              Fупр2



                          1                    2

                                                                                         Рис. 1.
                                 m1                    m2


                                   m 1g
                                                        m2g
     Так, например, в отсутствии трения на маятник 1 действует момент
вращения
    M 11 = − m1 g ⋅ l 1 ⋅ sin θ1 ,
создаваемый силой тяжести, и момент силы упругости
      M 12 = k ⋅ d 2 (sin θ 2 − sin θ1 ) ⋅ cos θ1 .
Поэтому уравнение движения маятника 1 будет иметь вид:
                 d 2 θ1
      m1l 12 ⋅       2
                        = − m1 g ⋅ l 1 ⋅ sin θ1 + k ⋅ d 2 (sin θ 2 − sin θ1 ) ⋅ cos θ1
                 dt
или
      d 2 θ1     g             k ⋅d2
             = −    ⋅ sin θ1 +        (sin θ2 − sin θ1 ) ⋅ cos θ1 .                                (1.2)
      dt 2       l1            m1l 12
При выводе уравнения предполагается, что углы отклонения маятника
невелики. Аналогичная формула получается и для маятника 2. Таким образом,
мы получили систему уравнений, каждое из которых можно решить методом
половинного интервала:

Страницы