Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 75 стр.

Моделирование механических колебаний систем                                  75
с двумя степенями свободы
                       Tб=2 Δω                      Tк
θ1




θ2




                                     Рис. 2.
     Рассмотрим поведение θ1 и θ2 для случая слабой связи ( kd 2 << mgl ), когда
вначале был отклонен только один из маятников, т.е. в момент времени t=0
амплитуда смещения второго маятника θ2 равна нулю (рис. 2). В этом случае
маятник 1 начинает колебаться один, но с течением времени амплитуда θ2 растет
и в момент, когда амплитуда θ1 спадает до нуля, амплитуда θ2 достигает
максимального значения и т.д.
     Такая же картина наблюдается и при произвольном начальном смещении
обоих маятников. И только в двух случаях не происходит обмена энергиями
между маятниками:
     а) если два одинаковых маятника в начальный момент времени были
отклонены на один и тот же угол ( θ1O = θ 2O ) и имели одинаковые скорости
⎛ ⎛ dθ1 ⎞ ⎛ dθ 2 ⎞ ⎞
⎜⎜ ⎜     ⎟ =⎜       ⎟ ⎟⎟ , то они совершают синфазные гармонические колебания с
 ⎝ ⎝ d t ⎠ o  ⎝ d t ⎠o ⎠
                     g
частотой ω+ =            ;
                     l
         б) если при t=0 отклонения и проекции скоростей равны и
                                               ⎛ dθ ⎞   ⎛dθ ⎞
противоположны по знаку ( θ1o = −θ 2 o и ⎜ 1 ⎟ = −⎜ 2 ⎟ ), маятники также
                                               ⎝ dt ⎠ o ⎝ dt ⎠ o
                                                             −    g 2kd 2
будут совершать гармонические колебания с частотой ω =             +      , но
                                                                  l ml 2
происходящие в противофазе (антифазные колебания).
     Эти колебания называются нормальными модами колебаний (или
нормальными колебаниями) системы связанных осцилляторов, а частоты ω+ и ω-
– нормальными частотами. Нормальная мода колебаний – это гармонические