Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГОСГИ | Коломна

Составители: 

Рубрика: 

Моделирование механических колебаний систем 77
с двумя степенями свободы
2. Связанные пружинные маятники
Рассмотрим теперь колебательную систему (рис. 3), составленную из двух
пружинных маятников (массы т
1
и т
2
, жесткости пружин k
1
и k
2
). Данный
маятник также представляет собой систему с двумя степенями свободы
(состояние такой системы полностью описывается двумя независимыми
параметрами х
1
и х
2
смещения тел от положения равновесия), поэтому
необходимо составлять уравнение движения каждого тела в отдельности.
Рис. 3.
Направим ось Ох вправо и
примем за начало отсчета точку
крепления первой пружины
10
.
Тогда начальная координата
первого тела определяется
длиной первой пружины в
недеформированном состоянии
1
o
x =l
1
. Начальное положение
второго тела:
1
2
2
oo
xx
+
= l , где
l
2
– длина второй пружины в
недеформированном состоянии.
В отсутствии трения на второе тело действует только сила упругости со
стороны второй пружины, а на первое – сила упругости со стороны обеих
пружин. Введем обозначения:
o
x
1
Δ
и
o
x
2
Δ
– начальные смещения тел от
положения равновесия; Δх
1
и Δх
2
, х
1
=
1
o
x +Δх
1
и х
2
=
2
o
x +Δх
2
– соответственно
смещения и координаты тел в произвольный момент времени. Очевидно, что
смещения масс от положения равновесия определяют деформации пружин Δl
1
и
Δl
2
.
Составим систему уравнений:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+=
222
2111
,
упр
упрупр
Fam
FFam
r
r
rr
r
и спроектируем каждое из них на выбранное направление оси Ох:
⎩
⎨
⎧
=
+=
.
,
222
2111
хх
ххх
Fam
FFam
В дифференциальной форме:
10
Кроме того, за начало отсчета можно выбрать начальное положение первого тела в состоянии
покоя: х
о1
=0. 
Моделирование механических колебаний систем                                            77
с двумя степенями свободы
                      2. Связанные пружинные маятники
      Рассмотрим теперь колебательную систему (рис. 3), составленную из двух
пружинных маятников (массы т1 и т2, жесткости пружин k1 и k2). Данный
маятник также представляет собой систему с двумя степенями свободы
(состояние такой системы полностью описывается двумя независимыми
параметрами х1 и х2 смещения тел от положения равновесия), поэтому
необходимо составлять уравнение движения каждого тела в отдельности.
                                                       Направим ось Ох вправо и
                                                       примем за начало отсчета точку
                                                       крепления первой пружины10.
                                                       Тогда начальная координата
                                                       первого    тела   определяется
                                                       длиной первой пружины в
                                                       недеформированном состоянии
                                                       xo1 =l1. Начальное положение
                                                       второго тела: xo2 = l 2 + xo1 , где
                                                       l2 – длина второй пружины в
                       Рис. 3.                         недеформированном состоянии.
     В отсутствии трения на второе тело действует только сила упругости со
стороны второй пружины, а на первое – сила упругости со стороны обеих
пружин. Введем обозначения: Δx1o и Δx2 o – начальные смещения тел от
положения равновесия; Δх1 и Δх2, х1= xo1 +Δх1 и х2= xo2 +Δх2 – соответственно
смещения и координаты тел в произвольный момент времени. Очевидно, что
смещения масс от положения равновесия определяют деформации пружин Δl1 и
Δl2.
        Составим систему уравнений:
           r     r       r
     ⎧⎪m1a1 = Fупр1 + Fупр 2 ,
      ⎨ r         r
      ⎪⎩m2 a2 = Fупр 2
и спроектируем каждое из них на выбранное направление оси Ох:
       ⎧m1a1х = F1х + F2 х ,
       ⎨
       ⎩m2 a2 х = F2 х .
     В дифференциальной форме:




10
  Кроме того, за начало отсчета можно выбрать начальное положение первого тела в состоянии
покоя: хо1=0.

Страницы