Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 76 стр.

76                             Моделирование механических колебаний систем
                                                 с двумя степенями свободы
колебания, которые совершают каждый из связанных маятников при
специальном выборе начальных условий.
      При любом другом выборе начальных отклонений в каждом из маятников
возникают сразу оба нормальных колебания, другими словами, возникающие
колебания представляют собой суперпозицию двух нормальных колебаний. Это
следует из того, что любые начальные отклонение двух маятников можно
представить как сумму двух начальных отклонений: одного, при котором оба
маятника отклонены одинаково в одну сторону, и другого, при котором оба
маятника одинаково отклонены в противоположные стороны. Чем слабее
пружина, связывающая маятники, тем, очевидно, ближе друг к другу будут обе
нормальные частоты.
      Наличие слабой связи означает, что расстройка частоты Δω = ω− − ω+ мала
по сравнению с нормальными частотами ω1 и ω2 и периодическое возрастание и
убывание амплитуды колебаний каждого из маятников (т.е. биения),
происходящее с частотой ωб=Δω (частота биений), легко наблюдается
экспериментально. Амплитуды колебаний каждого из маятников периодически
изменяются со сдвигом по фазе на π/2: когда одна из них достигает максимума,
вторая обращается в нуль и наоборот (рис. 2).
      Такое поведение маятников можно понять, апеллируя к нормальным
модам колебаний. В случае четной моды нормальных колебаний, обозначенной
знаком +, маятники движутся вместе, пружина не растянута и частота такая же,
как для одиночного осциллятора. В случае нечетной моды нормальных
колебаний (знак "–") пружина растянута, что увеличивает частоту этой моды
колебаний. Если смещен только один из маятников, мы имеем две нормальные
моды колебаний, находящиеся в определенной относительной фазе. Но
поскольку частота нечетного колебания немного выше частоты четного
колебания, относительная фаза изменяется. Через некоторое время два
нормальных вида колебаний окажутся в противофазе, амплитуда θ1 упадет до
нуля, в то время как амплитуда θ2 достигнет максимума, и т.д.
      Можно также рассмотреть эту же ситуацию с энергетической точки
зрения. При t=0 вся энергия сосредоточена в маятнике 1. В результате связи
через пружину энергия постепенно передается от маятника 1 к маятнику 2 до тех
пор, пока вся энергия не скопится в маятнике 2. Частота, с которой осцилляторы
обмениваются энергией, равна разности нормальных частот (ω+ − ω− ) .
      Следует упомянуть также и о так называемых частных (парциальных)
колебаниях, присущих связанным системам. Эти колебания получаются, если
жестко закрепить один из маятников, а второй вывести из положения равновесия
и предоставить самому себе (не уничтожая связи). Очевидно, парциальная
частота будет превышать частоту уединенного маятника. В симметричной
системе (одинаковые маятники) обе парциальные частоты равны друг другу,
причем это общее значение заключено между значениями двух нормальных
частот.
      В случае различных маятников их движение носит более сложный
характер, чем это описано выше для симметричной системы.