Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 78 стр.

78                                           Моделирование механических колебаний систем
                                                               с двумя степенями свободы

       ⎧ d 2 x1
       ⎪⎪m1 dt 2 = k 2 (( x2 − x1 ) − ( xo2 − xo1 )) − k1 ( x1 − xo1 ),
        ⎨     2
                                                                                                           (2.1)
        ⎪m d x2 = − k (( x − x ) − ( x − x )).
        ⎪⎩ 2 dt 2       2    2     1        o2    o1


Здесь: (х2-х1)-( xo2 - xo1 )=Δх2 – Δх1 =Δl2 – удлинение (деформация) второй
пружины в любой момент времени, (х1- xo1 )= Δх1 = Δl 1 – удлинение первой
пружины. Решение уравнения движения первого тела методом половинного
интервала:
     ⎧⎛ d 2 x1 ⎞          ⎛ dx1 ⎞ ⎛ k 2                                         k              ⎞ Δt
     ⎪⎜⎜ 2 ⎟⎟ ≈ ⎜               ⎟ + ⎜⎜ (( x2o − x1o ) − ( xo2 − xo1 )) − 1 ( x1o − xo1 ) ⎟⎟ ,
     ⎪⎝ dt ⎠1 / 2 ⎝ dt ⎠ o ⎝ m1                                                 m1             ⎠ 2
     ⎪⎪⎛ d 2 x ⎞                              ⎛k                                                     ⎞
                            ⎛ dx ⎞                                                 k
      ⎨⎜⎜ 2 ⎟⎟
                1
                         ≈⎜ 1⎟             + ⎜⎜ 2 (( x2i − x1i ) − ( xo2 − xo1 )) − 1 ( x1i − xo1 ) ⎟⎟ ⋅ Δt , (2.2)
      ⎪⎝ dt ⎠ i +1 / 2 ⎝ dt ⎠ i −1 / 2 ⎝ m1                                        m1                ⎠
      ⎪                       ⎛ dx ⎞
      ⎪( x1 )i +1 ≈ ( x1 )i + ⎜ 1 ⎟           ⋅ Δt.
      ⎪⎩                      ⎝ dt ⎠ i +1 / 2
Для второго тела:
     ⎧⎛ d 2 x2 ⎞                                                                 Δt
                                     ⎟ − 2 (( x2 o − x1o ) − ( xo2 − xo1 ) )⋅ ,
                             ⎛ dx 2 ⎞         k
     ⎪⎜⎜ 2 ⎟⎟ ≈ ⎜
     ⎪⎝ dt ⎠1 / 2 ⎝ dt ⎠ o m2                                                     2
     ⎪⎪⎛ d 2 x ⎞
                                                 − 2 (( x2i − x1i ) − ( xo2 − xo1 ) )⋅ Δt ,
                               ⎛ dx ⎞              k
      ⎨⎜⎜ 2 ⎟⎟               ≈⎜ 2⎟
                2
                                                                                            (2.3)
      ⎪⎝  d t     ⎠ i +1 / 2   ⎝  d t ⎠ i −1 / 2  m  2
      ⎪
      ⎪( x2 )i +1 ≈ ( x2 )i + ⎛⎜ 2 ⎞⎟
                                   dx
                                                  ⋅ Δt.
      ⎪⎩                         ⎝ dt ⎠ i +1 / 2
        Данную систему можно разбить на две парциальные: жестко закрепим
первое тело в положении равновесия (недеформированная пружина) и получим
парциальную систему с собственной частотой ω2 = k 2 m2 . Аналогично,
закрепив второе тело в положении равновесия (и, тем самым, заблокировав
вторую степень свободы), получим еще одну парциальную систему с частотой
ω1 = (k1 + k2 ) m1 (см. Лабораторную работу № 1.2, задача 3).
     3. Вынужденные колебания систем с двумя степенями свободы
                 Успокоители механических систем
      При работе различных машин часто возникают периодические силы,
действие которых может оказаться вредным, особенно при возникновении
резонансных явлений. Для уменьшения этого вредного действия применяют
различного рода успокоители. Присоединение успокоителя создает систему с
двумя степенями свободы, нормальные частоты колебаний которых отличны от
собственных частот ее частей, так что резонанса не возникает.