Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 80 стр.

80                                  Моделирование механических колебаний систем
                                                      с двумя степенями свободы
в декартовых координатах (по аналогии с рассмотренными выше примерами)
крайне затруднительно из-за наличия реакций, возникающих в шарнирных
соединениях. Подобные задачи решаются составлением уравнений движения для
обобщенных координат11 (уравнения Лагранжа). Дело в том, что задание
положения системы точек, скрепленных связями, в декартовых координатах не
всегда удобно. Выбор параметров, необходимых для описания положения всех
точек механической системы (т.е. обобщенных координат), должен определяться
прежде всего целесообразностью. Так, например, если силы зависят только от
расстояния между частицами, то разумно ввести эти расстояния в уравнения
динамики в явном виде, а не через посредство декартовых координат. В нашем
случае в качестве обобщенных координат удобно принять углы отклонения
каждого из маятников от вертикали (θ1 и θ 2).




                                                       Рис. 5. Двойной маятник.




      Рассмотрим последовательность составления уравнений Лагранжа на
примере задачи колебаний двойного маятника (без трения!).
      1) Ввести систему отсчета (рис. 5) и выразить декартовы координаты через
обобщенные:
     ⎧ x1 = l 1 ⋅ sin θ1 ,   ⎧ x2 = l 1 ⋅ sin θ1 + l 2 ⋅ sin θ 2 ,
     ⎨                     и ⎨
     ⎩ y1 = −l 1 ⋅ cos θ1 ⎩ y2 = −(l 1 ⋅ cos θ1 + l 2 ⋅ cos θ 2 ).
      2) Путем дифференцирования этих равенств получить декартовы
составляющие скоростей, выраженные через обобщенные координаты (θ1 и θ2) и
обобщенные скорости ( θ& 1 и θ& 2 ):




11
  Обобщенные координаты – это независимые параметры, определяющие положение механической
системы в пространстве. Эти параметры иногда могут совпадать с декартовыми координатами тех
или иных точек.