Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 81 стр.

Моделирование механических колебаний систем                                                                                          81
с двумя степенями свободы

    ⎧⎪ x&1 = υ x = l 1 ⋅ θ& 1 ⋅ cos θ1 , ⎧⎪ x& 2 = υ x = l 1 ⋅ θ& 1 ⋅ cos θ1 + l 2 ⋅ θ& 2 ⋅ cos θ 2 ,
                 1                                     2
     ⎨                                  и⎨
                            &                                     &                   &
     ⎪⎩ y&1 = υ y 1 = l 1 ⋅ θ1 ⋅ sin θ1   ⎪⎩ y& 2 = υ y 2 = l 1 ⋅ θ1 ⋅ sin θ1 + l 2 ⋅ θ 2 ⋅ sin θ 2 .
Тогда квадраты скоростей каждого маятника:
    υ 2 = υ 2 + υ 2 = l 2 ⋅ θ& 2 ⋅ cos 2 θ + l 2 ⋅ θ& 2 ⋅ sin 2 θ = l 2 ⋅ θ& 2 ;
         1      x1          y1          1       1        1       1        1             1     1     1

       υ =υ
         2
         2
                2
                x       +υ   2
                             y       = l ⋅ θ& ⋅ cos θ1 + l ⋅ θ& ⋅ cos θ 2 + 2 ⋅ l 1 ⋅ l 2 ⋅ cos θ1 ⋅ cos θ 2 +
                                        2
                                        1
                                                2
                                                1
                                                     2           2
                                                                 2
                                                                              2
                                                                              2
                                                                                    2
                    2            2

                        + l 12 ⋅ θ& 12 ⋅ sin 2 θ1 + l 22 ⋅ θ& 22 ⋅ sin 2 θ 2 + 2 ⋅ l 1 ⋅ l 2 ⋅ θ& 12 ⋅ θ& 22 ⋅ sin θ1 ⋅ sin θ 2 =
                                                     = l 12 ⋅ θ& 12 + l 22 ⋅ θ& 22 + 2 ⋅ l 1 ⋅ l 2 ⋅ θ& 1 ⋅ θ& 2 ⋅ cos(θ1 − θ 2 ).
      3) Декартовы координаты, входящие в формулу потенциальной энергии,
заменить на обобщенные:
     E p = m1 gy1 + m1 gy2 = −(m1 gl 1 ⋅ cos θ1 + m2 gl 1 ⋅ cos θ1 + m2 gl 2 ⋅ cos θ 2 ) =
                                                          = −(m1 + m2 )gl 1 ⋅ cos θ1 − m2 gl 2 ⋅ cos θ 2 .
      4) Скорости, входящие в формулу кинетической энергии, заменить на
обобщенные скорости, так что кинетическая энергия в общем случае начинает
зависеть не только от обобщенных скоростей, но и от обобщенных координат:
            m1υ12 m2 υ 22 m1l 12 & 2 m2 l 12 & 2 m2 l 22 & 2
       Eк =      +       =       θ1 +              ⋅ θ1 +          ⋅ θ2 +
             2     2        2              2                   2
                           + m2 ⋅ l 1 ⋅ l 2 ⋅ θ& 1 ⋅ θ& 2 ⋅ cos(θ1 − θ 2 ) =

             =
               (m1 + m2 )l 12 & 2 m2 l 22 & 2
                              θ +        ⋅θ + m                          ⋅ l 1 ⋅ l 2 ⋅ θ& 1 ⋅ θ& 2 ⋅ cos(θ1 − θ 2 ) .
                                            1                2       2
                       2                     2
        5) Составить выражение для функции Лагранжа:

       L = Eк − E p = 1
                          (m + m2 )l 12 θ& 2 + m2l 22 ⋅ θ& 2 +
                                               1             2
                                     2                2                                                                          (4.1)
         + m2 ⋅ l 1 ⋅ l 2 ⋅ θ& 1 ⋅ θ& 2 ⋅ cos(θ1 − θ 2 ) + (m1 + m2 )gl 1 ⋅ cos θ1 + m2 gl 2 ⋅ cos θ 2 .
      6) Составить уравнения Лагранжа:
    ⎧ ∂ ∂L ∂L
    ⎪ ∂t ∂θ& − ∂θ = 0,
    ⎪         1   1
    ⎨                                                                                                                            (4.2)
    ⎪ ∂ ∂L − ∂L = 0.
    ⎪⎩ ∂t ∂θ& 2 ∂θ 2
Первый маятник:
     ∂L
          = (m1 + m2 )l 12 ⋅ θ& 1 + m2 l 1l 2 θ& 2 ⋅ cos(θ1 − θ 2 );
       &
     ∂θ1