Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 82 стр.

82                                               Моделирование механических колебаний систем
                                                                   с двумя степенями свободы
        ∂ ∂L
               = (m1 + m2 )l 12 ⋅ &θ&1 + m2 l 1l 2 ⋅ &θ&2 ⋅ cos(θ1 − θ 2 ) −
            &
        ∂t ∂θ1                                                                                   ;
               − m2 l 1l 2 ⋅ θ& 1 ⋅ θ& 2 ⋅ sin (θ1 − θ 2 ) + m2 l 1l 2 ⋅ θ& 2 ⋅ sin (θ1 − θ 2 );
                                                                           2
        ∂L
            = − m2 l 1l 2 ⋅ θ& 1 ⋅ θ& 2 ⋅ sin (θ1 − θ 2 ) − (m1 + m2 )gl 1 sin θ1 .
        ∂θ1
      Подставляя полученные выражения в (4.2), получить уравнение Лагранжа
для первого маятника:
     (m1 + m2 )l 1 ⋅ &θ&1 + m2l 2 ⋅ &θ&2 ⋅ cos(θ1 − θ2 ) + m2l 2θ& 22 ⋅ sin (θ1 − θ2 ) +
                                                                                         (4.3)
                                                         + (m1 + m2 )g ⋅ sin θ1 = 0.
Второй маятник: (уравнение Лагранжа)
    l 2 ⋅ &θ&2 + l 1 ⋅ &θ&1 ⋅ cos(θ1 − θ 2 ) − l 1 ⋅ θ& 12 ⋅ sin (θ1 − θ 2 ) + g ⋅ sin θ 2 = 0
                                                                (4.4)
После несложных преобразований (4.3) и (4.4) получаем систему
дифференциальных уравнений, которую легко решить методом половинного
интервала:
⎧                     m2                   ⎡                  ⎛ &2                     l2 &2 ⎞
⎪&θ&1 = −                                ⋅ ⎢sin (θ  − θ   ) ⋅ ⎜
                                                              ⎜ θ  ⋅ cos (θ  − θ   ) +     ⋅ θ 2 ⎟⎟ −
⎪         m 1 + m 2 ⋅ sin 2
                            (θ 1 − θ 2 )   ⎣
                                                  1     2
                                                              ⎝
                                                                 1         1     2
                                                                                       l 1        ⎠
⎪
                                                     g ⎛                                 m + m1                 ⎞⎤
⎪                                                 − ⋅ ⎜⎜ sin θ 2 ⋅ cos(θ1 − θ 2 ) − 2                 ⋅ sin θ1 ⎟⎟⎥ ,
⎪⎪                                                   l1 ⎝                                    m2                 ⎠⎦
 ⎨                                                                                                                   (4.5)
 ⎪&&            m2 + m1                 ⎡                  ⎛ m2 & 2                                l1 & 2 ⎞
 ⎪θ 2 = m + m ⋅ sin 2 (θ − θ ) ⋅ ⎢sin (θ1 − θ 2 ) ⋅ ⎜⎜ m + m θ 2 ⋅ cos(θ1 − θ 2 ) + l ⋅ θ1 ⎟⎟ +
 ⎪        1     2            1     2    ⎣                  ⎝ 2         1                            2      ⎠
 ⎪                                                                   g                                           ⎤
 ⎪                                                               + ⋅ (sin θ1 ⋅ cos(θ1 − θ 2 ) − sin θ 2 )⎥ .
 ⎪⎩                                                                l2                                            ⎦


                                   Порядок выполнения работы
Задание № 1. Работа   с     компьютерной                                           моделью            "Связанные
             математические маятники"
     1. Открыть апплет "Связанные маятники_1" (папка С:\Виртуальный практикум
Колебания и волны\Апплеты для курса Колебания и волны). Ознакомиться с окном
апплета и назначением управляющих кнопок12 (рис. 6).




12
     См. подробнее Лабораторную работу № 1.1.