Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 74 стр.

74                                         Моделирование механических колебаний систем
                                                             с двумя степенями свободы

     ⎧ d 2 θ1      g              k ⋅d2
     ⎪ dt 2    = −     ⋅ sin θ1 +       2
                                           (sin θ2 − sin θ1 ) ⋅ cos θ1;
     ⎪             l 1            m   l
                                     1 1
     ⎨ 2                                                                      (1.3)
     ⎪ d   θ        g              k  ⋅ d 2

     ⎪⎩ dt 2
             2
               = − ⋅ sin θ 2 −              (sin θ2 − sin θ1 ) ⋅ cos θ2 .
                   l2              m2 l 22
       Рассмотрим аналитическое решение системы (1.3) для частного случая
m1 = m2 = m , l 1 = l 2 = l и малых углов отклонения ( sin θ ≈ θ ). Система (1.3) в
этом случае принимает вид:
      ⎧ d 2 θ1    g       k ⋅d2
      ⎪ dt 2 = − l ⋅ θ1 + m ⋅ l 2 (θ 2 − θ1 );
      ⎪
      ⎨ 2                                                                         (1.4)
      ⎪ d θ 2 = − g ⋅ θ − k ⋅ d (θ − θ ).
                                 2

      ⎪ dt 2      l
                       2
                          m ⋅ l2
                                      2    1
      ⎩
Упростим ситуацию, написав новые уравнения, получаемые сложением и
вычитанием уравнений системы (1.4). Сложив эти два уравнения, получаем:
     d 2 (θ1 + θ 2 )     g
                     = −   (θ1 + θ2 ) .                                           (1.5)
          dt 2           l
Разность уравнений имеет вид:
      d 2 (θ1 − θ 2 )     ⎛g     kd 2 ⎞
                      = −⎜⎜ + 2 ⋅ 2 ⎟⎟ ⋅ (θ1 − θ 2 ) .                            (1.6)
           dt 2           ⎝l     ml ⎠
В результате этого преобразования система (1.4) распалась на два независимых
уравнения (1.5) и (1.6), т.е. с помощью этой операции нам удалось "развязать"
эти уравнения. Рассматривая уравнение (1.5), можно заметить, что переменной
величиной является сумма смещений ( θ1 + θ 2 ), а в уравнении (1.6) – их разность
( θ1 − θ 2 ). При этом каждое из этих уравнений описывает колебания
гармонического осциллятора с собственными частотами соответственно
        +   g     −   g 2kd 2
      ω =     иω =      +     .                                                   (1.7)
            l         l ml 2
       Решение уравнений можно записать в следующем виде:
      θ1 + θ 2 = (θ1O + θ 2O ) ⋅ cos ω+ ⋅ t ,                                     (1.8)
      θ1 − θ 2 = (θ1O − θ 2 O )⋅ cos ω− ⋅ t ,                                     (1.9)
где θ1O и θ 2O – угловые смещения маятников в момент времени t=0. Из
уравнений (1.8) и (1.9) видно, что и сумма смещений, и разность смещений
меняются с п о с т о я н н о й а м п л и т у д о й .