Механика. Щербаченко Л.А. - 101 стр.

                                 Четвёртая космическая скорость.
                 Вычислим теперь приближенно четвертую космическую скорость v 4 .
            Так называется минимальная скорость, которую надо сообщить ракете,
            чтобы она могла упасть в заданную точку Солнца. Такая скорость зависит
            от положения этой точки на поверхности Солнца. На старте ракета
            движется вокруг Солнца вместе с Землей со скоростью VK. Чтобы ракета
            упала на Солнце, ее движение надо затормозить. Как и ранее, находим, что
            при выходе из зоны земного притяжения скорость ракеты будет V = Vk + v ∞
            (относительно Солнца). Наименьшая энергия, которую нужно затратить для
            замедления, получится тогда, когда скорости VK и v ∞ направлены
            противоположно. В этом случае V = Vk − v ∞ (все скорости положительны), а
            энергия, приходящаяся на единицу массы ракеты, равна
                   ε=
                        1
                        2                  r     2
                                                        (
                          (Vk − v ∞ )2 − γ M = − 1 Vk2 + 2Vk v∞ − v ∞2   )
                 где R =CA – расстояние ракеты до центра Солнца при ее
            максимальном удалении (рис. 1). Если ε < 0 , то траекторией ракеты будет
            эллипс с большой осью
                             M     2 RVk2
                   2a = −γ     = 2                .
                             ε Vk + Vk v ∞ − v ∞2
                  Один из фокусов эллипса находится в центре Солнца. Обозначим
            через х=СР расстояние от центра Солнца до ближайшей вершины этого
            эллипса. Расстояние х однозначно определяет форму эллипса, а с ней и
            линию на поверхности Солнца, на которой будет лежать точка падения.
            Большая ось эллипса 2a = R + x . Подставив это значение в предыдущее
            уравнение, придем к квадратному уравнению для v ∞ . Меньший корень
            этого уравнения равен
                                                                                              2x 
                                                                             v ∞ = Vk 1 −          
                                                                                             R + x 
                                                               Четвертая космическая скорость v 4
                                                               ракеты определится из соотношения
                                                               v 42 = v ∞2 + 2v k2 , или
                                                                                                         2
                                                                                              2x 
                                                                             v = V 1 −
                                                                              2      2
                                                                                                      + 2v k2
                                                                                              R + x 
                                                                              4     k

                                 Рис. 1                                             
                                                       Она зависит от параметра x,
            определяющего место падения. При x=0 (прямолинейное движение по
            направлению к центру Солнца) скорость v 4 максимальна и равна
                                                 км
                   v 4max = Vk2 + 2v ∞2 ≈ 31,8      .
                                                  с




                                                                                                                 101

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com