Механика. Щербаченко Л.А. - 167 стр.

                        Fo
                           sin ωt + i o (1 − cos ωt ) (См. задачу 1а).
                                     F
                     ξ=
                        mω           mω
                     Найдём модуль комплексной величины ξ :
                                       2                                    2
                          F                     2F   ωt 
                     ξ =  o  (2 − 2 cos ωt ) =  o sin 
                      2

                          mω                    mω   2
                     Из формулы ξ = a ω следует, что искомая амплитуда колебаний
                                     2     2 2


                     равна:
                          2 Fo      ωt
                     a=         sin
                          mω  2
                                    2
                 3) То же в случае силы, меняющейся в течение времени от нуля до
                 2π
            T=      по закону F = Fo sin ωt :
                 ω
                     Решение:
                     Поскольку F = Fo sin ωt =
                                                              2i
                                                                 (
                                                             Fo iωt
                                                                                )
                                                                   e − e −i ω t :

                     ξ (t ) = −
                                  Fo i iωt
                                           t
                                               (
                                      e ∫ e iωt − e −iωt   )            iF
                                                                                  t
                                                                                    (          )      iF        
                                                           e −iωt dt = − o e iωt ∫ 1 − e − 2iωt dt = − o e iωt  t +
                                                                                                                        (          )  ⇒
                                                                                                                      e −2 i ω t − 1
                                                                                                                         2iω           
                                  2m       0
                                                                        2m        0
                                                                                                      2m                              
                                  iFo  iωt e − iωt − e iωt
                                                     Fo                                   sin ωt 
                     ξ (t ) = −        te +         =     − i ⋅ t cos ωt + t sin ωt + i        ⇒
                                  2m            2iω 2m                                    ω 
                                                                   2π 
                                                            sin ω
                              Fo      π    π          π                
                                                                     ω  = − Foπ
                     ξ (T ) =    −i⋅ 2    2         2
                                         +    sin ω      +i
                              2m     ω    ω          ω         ω             mω
                                                                       
                                                                       
                     Из формулы ξ = a 2ω 2 следует, что искомая амплитуда колебаний
                                                   2


                     равна:
                          Foπ
                     a=
                          mω 2


             Автоколебания, параметрические колебания и колебания связанных систем.

                                                               Автоколебания.

                                           Определение.
                  Из-за потери энергии на трение собственные колебания постепенно
            затухают. Если к осциллятору подводить энергию от источника внешней
            гармонической силы, то он начнет колебаться с частотой этой силы, которая
            вообще говоря, отличается от собственной частоты осциллятора.
                  Однако можно создать устройства, в которых осциллятор сам
            регулирует подвод энергии из внешнего источника таким образом, чтобы
            компенсировать потери энергии на трение. За период колебаний из внешнего
            источника энергия, приобретаемая осциллятором, равна энергии,
            затрачиваемой на преодоление сил трения. В результате осциллятор

                                                                                                                                  167

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com