Механика. Щербаченко Л.А. - 166 стр.

                                                        Задачи.
                    1) Определить вынужденные колебания системы под влиянием силы
            F (t ) , если в начальный момент t = 0 система покоится в положении
            равновесия (x = 0, x& = 0, ξ o = 0) , для случаев:
                      a) F = const = Fo
                         Решение:
                                                                           (       )                     (       )       (            )
                                      t
                                          Fo  Fo                    iF                   iF
                                      ∫me
                                                                  t
                                iωt             − iωt
                       ξ =e                          e iωt e − iωt = o e iωt e −iωt − 1 = o 1 − e iωt ⇒
                                                        dt =
                             0
                                            − iω m                0 mω                   mω

                      ξ = o (1 − cos ωt − i sin ωt ) = o sin ωt + i o (1 − cos ωt )
                          iF                             F             F
                          mω                            mω            mω
                      Отсюда, согласно ξ = x& + iωx , находим x:
                          F                      F
                      x = o (1 − cos ωt ) = o 2 (1 − cos ωt )
                                         1
                         mω              ω mω
                   b) F = at
                       Решение:
                                                                       ia iωt  −iωt                
                                                                               (       )
                                      t                    t                           t
                                          a −iωt    ia iωt
                       ξ = e iωt ∫          te dt =    e ∫ td e −iωt =    e  te    − ∫ e −iωt dt  =
                                      0   m         mω     0           mω             0            

                       =
                        ia iωt  − iωt i e −iωt − 1  ia 
                            e  te       −
                                                          (
                                                         =
                                                                   ) i
                                                              t − 1 − e  =
                                                                            iωt 
                                                                                                (            )
                        mω                     ω         mω  ω                
                                    1 − cos ωt − i sin ωt 
                      =
                         a 
                             it +                         =
                                                              a
                                                                  (1 − cos ωt ) + i at − a sin ω2 t  ⇒
                        mω                  ω              mω
                                                                2
                                                                                     mω    mω 
                      x=
                           a
                                 (ωt − sin ωt ) = 3 (ωt − sin ωt )
                                               1      a
                         mω 2                  ω mω
                               − αt
                   c) F = Fo e
                       Решение:
                                                                                                                     (                )
                                      t                        t
                                          F0 −iωt −αt F                             F          1
                       ξ = e iωt ∫          e ⋅ e dt = o e iωt ∫ e −(iω +α )t dt = − o e iωt        e − (iω +α )t − 1 =
                                      0
                                          m            m       0
                                                                                    m        iω + α
                         Fo α − iω iωt
                       =                         (
                                        e − e −αt =
                                                           Fo
                                                               )                                     (
                                                                     (α − iω ) cos ωt + i sin ωt − e −αt =                   )
                         m α +ω
                              2      2
                                                      mα +ω2     2
                                                                       (                   )
                                               )(                                                                                )
                            Fo
                       =                α cos ωt + iα sin ωt − αe −αt − iω cos ωt + ω sin ωt + iωe −αt =
                            (
                         m α +ω
                            2      2




                                               ) ((                                            ) (                               ))
                            Fo
                       =                α cos ωt − αe −αt + ω sin ωt + i α sin ωt − ω cos ωt + ωe −αt ⇒
                            (
                         m α +ω
                            2      2


                                Fo       −α t           α         
                       x=             2 
                                          e − cos ωt + sin ωt 
                                2
                                 (
                          m α +ω               )        ω         
                2) Определить конечную амплитуду колебаний системы после действия
            внешней постоянной силы Fo , действующей в течение ограниченного
            времени T. До момента времени t = 0 система покоится в положении
            равновесии.
                   Решение:


                                                                                                                                          166

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com