Механика. Щербаченко Л.А. - 164 стр.

            нахождения общего решения уравнения движения в этом случае перепишем
            выражение (57) с соответствующим переобозначением постоянных в виде:
                   x = a cos(ωt + α ) +                         (cos(γt + β ) − cos(ωt + β ))
                                                        f
                                                (
                                             mω −γ 22
                                                            )
                 При γ → ω второй член дает неопределенность вида 0/0. Раскрывая ее
            по правилу Лопиталя, получим:
                   x = a cos(ωt + α ) +          t sin (ωt + β )
                                              f
                                                                                                (58)
                                             2mω
                 Таким образом, в случае резонанса амплитуда колебаний растет
            линейно со временем (до тех пор, пока колебания не перестанут быть
            малыми и вся излагаемая теория перестанет быть применимой).
                 Выясним еще, как выглядят малые колебания вблизи резонанса,
            когда γ = ω + ε , где ε – малая величина. Представим общее решение в
            комплексном виде:
                 x = Ae iωt + Be i (ω + ε )t = (A + Be iεt )e iωt           (59)
                                                                                                 2π
                   Так как величина A + Be iεt мало меняется в течение периода
                                                                                                 ω
            множителя e iωt , то движение вблизи резонанса можно рассматривать как
            малые колебания, но с переменной амплитудой.
                Обозначив последнюю через C , имеем:
                   C = A + Be iεt
                   Представив А и В соответственно в виде ae iα и beiβ , получим:
                   С 2 = a 2 + b 2 + 2ab cos(εt + β − α )                  (60)
                 Таким образом, амплитуда колеблется периодически с частотой ε ,
            меняясь между двумя пределами:
                    a−b ≤C ≤ a+b
                 Это явление носит название биений.
                 Уравнение движения (55) может быть проинтегрировано и в общем
            виде при произвольной вынуждающей силе F (t ) . Это легко сделать,
            переписав его предварительно в виде:
                   d
                      (x& + iωx ) − iω (x& + iωx ) = F (t )
                   dt                                 m
                   или
                   dξ         F (t )
                      − iωξ =        ,                                                          (61)
                   dt          m
                   где введена комплексная величина
                   ξ = x& + iωx                                                  (62)
                  Уравнение (61) уже не второго, а первого порядка. Без правой части
            его решением было бы ξ = Ae iωt с постоянной А. Следуя общему правилу,
            ищем решение неоднородного уравнения в виде ξ = A(t )e iωt и для функции
            A(t) получаем уравнение:
                                                                   F (t )
                   A& (t )e iωt + A(t ) ⋅ iωe iωt − iωA(t )e iωt =
                                                                    m

                                                                                                 164

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com