Механика. Щербаченко Л.А. - 163 стр.

            действием внешнего поля. Разлагая этот дополнительный член в ряд по
            степеням малой величины х, получим
                                                    ∂U e
                   U e ( x, t ) ≈ U e (0, t ) + x
                                                     ∂x         x=0

                 Первый член является функцией только от времени и потому может
            быть опущен в лагранжевой функции (как полная производная по t от
                                                                                         ∂U e
            некоторой другой функции времени). Во втором члене −                              есть внешняя
                                                                                          ∂x
            “сила”, действующая на систему в положении равновесия и являющаяся
            заданной функцией времени; обозначим ее как F (t ) . Таким образом, в
            потенциальной энергии появляется член − xF (t ) , так что функция
            Лагранжа системы будет:
                         mx& 2 kx& 2
                   L=         −      + xF (t )                                                                (54)
                          2     2
                   Соответствующее уравнение движения есть:
                   m&x& + kx = F (t ) ,
                   или
                                   F (t )
                   &x& + ω 2 x =          ,                                                                   (55)
                                    m
                  где мы снова ввели частоту ω свободных колебаний.
                  Как известно, общее решение неоднородного линейного диф-
            ференциального уравнения с постоянными коэффициентами получается в
            виде суммы двух выражений: x = x 0 + x1 , где x 0 – общее решение однородного
            уравнения, а x 1 – частный интеграл неоднородного уравнения. В данном
            случае x 0 представляет собой рассмотренные в предыдущем параграфе
            свободные колебания.
                  Рассмотрим имеющий особый интерес случай, когда вынуждающая
            сила тоже является простой периодической функцией времени с некоторой
            частотой γ :
                  F (t ) = f cos(γt + β )                                             (56)
                  Частный интеграл уравнения (55) ищем в виде x1 = b cos(γt + β ) с тем же
                                                                                                          f
            периодическим множителем. Подстановка в уравнение дает: b =                                             ;
                                                                                                  (
                                                                                                mω −γ 2
                                                                                                      2
                                                                                                                )
            прибавляя решение однородного уравнения, получим общий интеграл в виде:
                   x = a cos(ωt + α ) +                                   cos(γt + β )
                                                            f
                                                                                                              (57)
                                                    (
                                               mω −γ 2  2
                                                                      )
                 Произвольные постоянные a и α определяются из начальных условий.
                 Таким образом, под действием периодической вынуждающей силы
            система совершает движение, представляющее собой совокупность двух
            колебаний — с собственной частотой системы ω и с частотой вынуждающей
            силы γ .
                 Решение (57) неприменимо в случае так называемого резонанса, когда
            частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой системы. Для

                                                                                                               163

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com